1.2.3 直线与平面的夹角-【高考领航】2023-2024学年高中数学选择性必修第一册同步核心辅导与测评（人教B版）

1．2.3　直线与平面的夹角 [素养目标]　1.理解直线与平面的夹角的定义，并能用向量语言表述直线与平面的夹角，重点培养数学抽象、直观想象核心素养．　2.能利用向量方法解决直线与平面的夹角问题，重点提升逻辑推理、数学运算核心素养． 　直线与平面的夹角 1．直线与平面所成的角 (1)如果一条直线与一个平面垂直，则称这条直线与这个平面所成的角为90°． (2)如果一条直线与一个平面平行，或直线在平面内，则称这条直线与这个平面所成的角为0°． (3)平面的斜线与它在平面内的射影所成的锐角，称为这条斜线与这个平面所成的角． 2．斜线与平面所成的角的性质 如图所示，设AO是平面α的一条斜线段，O为斜足，A′为A在平面α内的射影，而OM是平面α内的一条射线，A′M⊥OM.记∠AOA′＝θ1，∠A′OM＝θ2，∠AOM＝θ. (1)cos θ＝cos_θ1cos_θ2． (2)平面的斜线与平面所成的角，是斜线和这个平面内所有直线所成的角的最小角(常称最小角定理)． (3)空间中任意一条直线与任意一个平面所成的角的大小都是确定的，直线与平面所成的角也称为它们的夹角． (4)经过平面外一点所作的平面的多条斜线中，斜线段长、射影长及斜线与平面所成的角，只要有一个相等，则另外两个也对应相等． [拓展] 1．公式cos θ＝cos θ1·cos θ2 也叫“三余弦”公式，θ1，θ2，θ分别是斜线与射影、射影与平面内的直线、斜线与平面内的直线所成的角． 2．在以上公式中，令θ2＝90°，则cos θ＝cos θ1·cos 90°＝0.∴θ＝90°，即当A′O⊥OM时，AO⊥OM，此即三垂线定理；反之，若令θ＝90°，则cos θ1·cos θ2＝0.∵θ1≠90°，∴θ2＝90°.即若OM⊥AO，则A′O⊥OM，此即三垂线定理的逆定理，由此可知三垂线定理及其逆定理可以看成是此公式的特例． 　用空间向量求直线与平面的夹角 如果ν是直线l的一个方向向量，n是平面α的一个法向量，设直线l与平面α所成角的大小为θ.则 (1)θ＝－〈ν，n〉或θ＝〈ν，n〉－． (2)cos θ＝sin〈ν，n〉或sin θ＝|cos〈ν，n〉|． [预习诊断] 1．思维辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)两直线的方向向量所成的角就是两条直线所成的角．(　　) (2)直线的方向向量和平面的法向量所成的角就是直线与平面所成的角．(　　) (3)两异面直线夹角的范围是，直线与平面所成角的范围是.(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)√ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 2．已知向量m，n分别是直线l和平面α的方向向量，法向量，若cos〈m，n〉＝－，则直线l与平面α所成的角为(　　) A．30° B.60° C．120° D.150° 解析：选A.由cos〈m，n〉＝－，得〈m，n〉＝120°，∴直线l与平面α所成的角为|90°－120°|＝30°. 3．已知点P是正三角形ABC所在平面外一点，PA＝PB＝PC＝，AB＝1，则PC和平面ABC所成的角是(　　) A．90° B.60° C．45° D.30° 解析：选D.设P点在平面ABC上的射影为O，则O为外心，且AB⊥OC， ∴∠PCO即为所求．由题可得OC＝×＝，PC＝，∴cos∠PCO＝， ∴∠PCO＝30°. 4．设ABCD、ABEF都是边长为1的正方形，FA⊥平面ABCD，则异面直线AC与BF所成的角等于________． 解析：如图，以A为原点建立空间直角坐标系Axyz，则A(0，0，0)，F(0，0，1)，B(0，1，0)，C(1，1，0)， ∴＝(1，1，0)，＝(0，－1，1)． ∴·＝－1. 设AC与BF所成的角为θ. 则cos θ＝|cos〈，〉|＝. ∴θ＝60° 答案：60° 定义法求直线与平面的夹角(小组探究) 　如图所示，在三棱锥P­ABC中，PA⊥平面ABC，PA＝AB，∠ABC＝60°，∠BCA＝90°. (1)求证：BC⊥平面PAC； (2)若D为PB的中点，试求AD与平面PAC夹角的正弦值． 【尝试解答】　(1)证明：因为PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC. 所以PA⊥BC. 又∠BCA＝90°， 所以AC⊥BC. 又AC⊂平面PAC. PA⊂平面PAC，PA∩AC＝A， 所以BC⊥平面PAC. (2)取PC的中点E，连接DE.因为D为PB的中点，所以DE∥BC. 所以DE⊥平面PAC.连接AE，则AE是AD在平面PAC内的投影，所以∠DAE是直线AD与平面PAC的夹角，设PA＝AB＝a，在直角三角形ABC中，因为∠ABC＝60°，∠BCA＝90°所以BC＝，DE＝， 在直角三角形ABP中，AD＝a， 所以sin∠DAE＝＝＝. 即AD与平面PAC夹角的正弦