1.2.1 空间中的点、直线与空间向量-【高考领航】2023-2024学年高中数学选择性必修第一册同步核心辅导与测评（人教B版）

1．2　空间向量在立体几何中的应用 1．2.1　空间中的点、直线与空间向量 [素养目标]　1.能用向量语言描述空间中的点、直线与空间向量，理解直线的方向向量、重点培养数学抽象核心素养．　2.能用向量方法研究直线与直线的位置关系、两条直线所成的角，重点提升逻辑推理、数学运算核心素养． 　空间中的点、直线与空间向量 1．点的位置向量 (1)一般地，如果在空间中指定一点O，那么空间中任意一点P的位置，都可以由向量唯一确定，此时，通常称为点P的位置向量． (2)空间直角坐标系中的任意一点都由它的位置向量唯一确定，从而也就由它的坐标唯一确定． 2．直线的方向向量 (1)直线的方向向量 一般地，如果l是空间中的一条直线，ν是空间中的一个非零向量，且表示v的有向线段所在的直线与l平行或重合，则称ν为直线l的一个方向向量．此时，也称向量ν与直线l平行，记作ν∥l． (2)直线的方向向量的有关结论 ①如果A，B是直线l上两个不同的点，则ν＝就是直线l的一个方向向量； ②如果ν是直线l的一个方向向量，则对任意的实数λ≠0，空间向量λν也是直线l的一个方向向量，而且直线l的任意两个方向向量都平行； ③如果ν为直线l的一个方向向量，A为直线l上一个已知的点，则对于直线l上任意一点B，向量一定与非零向量ν平行，从而可知存在唯一的实数λ，使得＝λν，这就是说，空间中直线l的位置可由ν和点A唯一确定； ④如果ν1是直线l1的一个方向向量，ν2是直线l2的一个方向向量，则ν1∥ν2⇔l1∥l2，或l1与l2重合． 　空间中两条直线所成的角 设ν1、ν2分别是空间中直线l1、l2的方向向量，且l1与l2所成角的大小为θ. (1)θ＝〈ν1，ν2〉或θ＝π－〈ν1，ν2〉． (2)sin θ＝sin〈ν1，ν2〉或cos θ＝|cos 〈ν1，ν2〉|. (3)l1⊥l2⇔〈ν1，ν2〉＝或⇔ν1·ν2＝0． 　异面直线与空间向量 1．两条直线是异面直线的条件 设ν1与ν2分别是空间中直线l1，l2的方向向量 (1)“ν1与ν2不平行”是“l1与l2异面”的必要不充分条件． (2)A∈l1，B∈l2，“ν1，ν2，不共面”是“l1与l2异面”的充要条件． 2．异面直线的公垂线段和距离 一般地，如果l1与l2是空间中两条异面直线，M∈l1，N∈l2，MN⊥l1，MN⊥l2，则称MN为l1与l2的公垂线段．两条异面直线的公垂线段的长，称为这两条异面直线之间的距离． [预习诊断] 1．若A(1，0，－1)，B(2，1，2)在直线l上，则直线l的一个方向向量是(　　) A．(2，2，6)　　　　　　 B.(－1，1，3) C．(3，1，1) D.(－3，0，1) 解析：选A.∵A，B都在直线l上， ∴＝(1，1，3)是直线l的一个方向向量． 2＝(2，2，6)也是直线l的一个方向向量． 2．若直线l1的方向向量ν1＝(1，0，－1)，直线l2的方向向量ν2＝(－2，0，2)，则直线l1与l2的位置关系是(　　) A．平行 B.相交 C．垂直 D.不能确定 解析：选A.∵ν2＝－2ν1， ∴ν1∥ν2，即l1∥l2，故选A. 3．已知A、B、C三点的坐标分别为A(4，1，3)，B(2，－5，1)，C(3，7，λ)，若AB⊥AC，则λ等于(　　) A．28 B.－28 C．14 D.－14 解析：选D.∵＝(－2，－6，－2)， ＝(－1，6，λ－3)， ·＝2－36－2(λ－3)＝0，∴λ＝－14. 4．ν1＝(1，2，－2)，ν2＝(－2，3，2)分别是空间中直线l1，l2的方向向量，则直线l1，l2所成的角大小为________． 解析：设θ是直线l1，l2所成的角， cos θ＝|cos〈ν1，ν2〉|＝ ＝＝0， ∴θ＝90°. 答案：90° 直线的方向向量及直线上的点的位置(小组探究) 　(课本例1拓展)(1)已知直线l1的方向向量a＝(1，2，－2)，直线l2的方向向量b＝(－2，3，m)，若l1⊥l2，则m＝(　　) A．1 B.2 C. D.3 (2)已知O是坐标原点，A，B，C三点的坐标分别为(3，4，0)，(2，5，5)，(0，3，5)． ①若＝(－)，求P点的坐标； ②若P是线段AB上的一点，且AP∶PB＝1∶2，求P点的坐标． 【尝试解答】　(1)∵l1⊥l2，∴a⊥b，即a·b＝(1，2，－2)·(－2，3，m)＝－2＋6－2m＝0，∴m＝2.故选B. (2)①由题意得＝(－1，1，5)，＝(－3，－1，5)， ∴＝(－)＝(2，2，0)＝(1，1，0)， ∴P点的坐标为(1，1，0)．②由P是线段AB上的一点，且AP∶PB＝1∶2，得＝. 设P点的坐标为(x，y，z)， 则＝(x－3，y－4，z)，＝(2－x，5－y，