1.1.2 空间向量基本定理-【高考领航】2023-2024学年高中数学选择性必修第一册同步核心辅导与测评（人教B版）

1．1.2　空间向量基本定理 [素养目标]　1.了解共线向量、共面向量的意义，掌握它们的表示方法．重点发展直观想象核心素养． 2．理解基底、基向量及向量的线性组合的概念．重点培养数学抽象核心素养． 3．理解空间向量基本定理，会选择恰当的基底表示空间向量．重点提升逻辑推理核心素养． 　共面向量定理 1．共面向量定理 如果两个向量a，b不共线，则向量a，b，c共面的充要条件是，存在唯一的实数对(x，y)，使c＝xa＋yb． 2．如果A，B，C三点不共线，则点P在平面ABC内的充要条件是，存在唯一的实数对(x，y)，使＝x＋y． [点睛] 向量c与a，b共面的充要条件是在a，b不共线的前提下才成立，若a与b共线，则不成立． 　空间向量基本定理 1．空间向量基本定理 如果空间中的三个向量a，b，c不共面，那么对空间中的任意一个向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝xa＋yb＋zc． 空间向量基本定理中，p用a，b，c表示的表达式p＝xa＋yb＋zc唯一．特别地，当a，b，c不共面时，可知xa＋yb＋zc＝0⇔x＝y＝z＝0. 2．基底和基向量 (1)表达式xa＋yb＋zc一般称为向量a，b，c的线性组合或线性表达式．如果三个向量a，b，c不共面，则它们的线性组合xa＋yb＋zc能生成所有的空间向量． (2)空间中不共面的三个向量a，b，c组成的集合{a，b，c}，常称为空间向量的一组基底．此时，a，b，c都称为基向量．如果p＝xa＋yb＋zc，则xa＋yb＋zc为p在基底{a，b，c}下的分解式． [点睛] 1．用空间三个不共面的已知向量组{a，b，c}可以线性表示出空间中的任意一个向量，而且表示的结果是唯一的． 2．空间任意三个不共面的向量都可以作为空间的一个基底． [预习诊断] 1．思维辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)空间向量的基底是唯一的．(　　) (2)若a，b，c是空间向量的一组基底，则a，b，c均为非零向量．(　　) (3)已知A，B，M，N是空间四点，若，，不能构成空间的一个基底，则A，B，M，N共面．(　　) (4)若{a，b，c}是空间的一个基底，且存在实数x，y，z使得xa＋yb＋zc＝0，则有x＝y＝z＝0.(　　) 答案：(1)×　(2)√　(3)√　(4)√ 2．如果向量a，b与任何向量都不能构成空间的一个基底，则一定有(　　) A．a与b共线　　　　　　 B.a与b同向 C．a与b反向 D.a与b共面 解析：选A.由空间向量基本定理可知只有不共线的两个向量才可以做基底，B、C都是A的一种情况，空间中任意两个向量都是共面的，故D项错误． 3．对于空间一点O和不共线的三点A，B，C，有6＝＋2＋3，则(　　) A．O，A，B，C四点共面 B．P，A，B，C四点共面 C．O，P，B，C四点共面 D．O，P，A，B，C五点共面 解析：选B.由6＝＋2＋3，得－＝2(－)＋3(－)，即＝2＋3，故，，共面，又它们有公共点P，因此，P，A，B，C四点共面． 4．如果空间向量a，b不共线，且a－yb＝xa＋3b，则x＝________，y＝________． 解析：∵a，b不共线，且a－yb＝xa＋3b， ∴(x－1)a＋(y＋3)b＝0. ∴解得 答案：1　－3 共线向量定理的应用(小组探究) 　如图所示，在空间四边形ABCD中，点E，F分别是AB，CD的中点，请判断向量与＋是否共线？ 【尝试解答】　设AC中点为G，连接EG，FG，∴＝，＝， 又∵，，共面， ∴＝＋＝＋＝(＋)． ∴与＋共线． 1．向量共线问题主要是利用共线向量基本定理及向量共线的充要条件论证向量所对应的直线是否平行或者判断两个向量是否共线，这常作为判断四边形形状的重要依据． 2．向量平行与直线平行是有区别的，直线平行不包括重合的情况．若要判断a，b所在的直线平行，还需说明a(或b)上有一点不在b(或a)上． 1.如图所示，已知四边形ABCD、ABEF都是平行四边形且不共面，M、N分别是AC、BF的中点，判断与是否共线． 解：∵M、N分别是AC、BF的中点，且四边形ABCD、ABEF都是平行四边形， ∴＝＋＋＝＋＋. 又∵＝＋＋＋ ＝－＋－－， ∴2＝＋＋－＋－－＝，即＝2. ∴与共线． 共面向量定理的应用(拓展探究) 　(课本例1拓展)如图所示，已知矩形ABCD和矩形ADEF所在的平面互相垂直，点M，N分别在对角线BD，AE上，且BM＝BD，AN＝AE.求证：向量，，共面． 【尝试解答】　证明　因为M在BD上，且BM＝BD， 所以＝＝＋. 同理＝＋. 所以＝＋＋ ＝＋＋ ＝＋＝＋. 又与不共线，根据向量共面的充要条件可知，， 共面． 　证明空间向量共面或四点共面的方法 (1)向量表示：设法证明其中一个向量可以