第一章 空间向量与立体几何 章末整合提升-【高考领航】2023-2024学年高中数学选择性必修第一册同步核心辅导与测评（人教B版）

章末整合提升 本章我们将平面向量推广到空间向量，学习了空间向量的运算，空间向量的坐标等；在此基础上学习了空间向量在立体几何中的应用．依照知识之间的联系，完成如下的知识结构图： 类型1　空间向量及其运算 空间向量及其运算的知识与方法与平面向量及其运算类似，是平面向量的拓展，主要考查空间向量的共线与共面以及数量积运算，是用向量法求解立体几何问题的基础． 　(1)(多选题)在四面体P-ABC中，下列说法正确的是(　　) A．若＝＋，则＝3 B．若Q为△ABC的重心，则＝＋＋ C．若·＝0，·＝0，则·＝0 D．若四面体P-ABC的各棱长都为2，M，N分别为PA，BC的中点，则||＝1 【尝试解答】　对于A，∵＝＋， ∴3＝＋2， ∴2－2＝－，∴2＝， ∴3＝＋，即3＝，故A正确； 对于B，若Q为△ABC的重心，则＋＋＝0，∴3＋＋＋＝3， ∴3＝＋＋，即＝＋＋，故B正确； 对于C，若·＝0，·＝0，则·＋·＝0， ∴·＋·(＋)＝0， ∴·＋·＋·＝0， ∴·＋·－·＝0， ∴(－)·＋·＝0， ∴·＋·＝0， ∴·＋·＝0， ∴·(＋)＝0， ∴·＝0，故C正确； 对于D，∵＝－＝(＋)－＝(＋－)， ∴||＝|－－|. ∵|－－| ＝ ＝ ＝2， ∴||＝，故D错误． 【答案】　ABC (2)在长方体ABCD­A1B1C1D1中，M为矩形ABCD的中心，记＝a，＝b，＝c，试用a，b，c表示向量. 【尝试解答】　 解法一　如图所示， ∵M为矩形ABCD的中心， ∴M为AC中点， ∴＝(＋) ＝[(＋＋)＋] ＝[(－b－a＋c)＋c] ∴＝－a－b＋c. 解法二　如图所示，∵M为矩形ABCD的中心，∴＋＝0. 又∵＝＋＋＋.① ＝＋，② ①＋②得 2＝＋＋＋＝－b－a＋2c. ∴＝－a－b＋c. 用已知基向量表示指定向量以及进行向量表达式的化简一定要结合实际图形，将已知向量和未知向量转化至三角形或平行四边形中，利用三角形法则或平行四边形法则求解． 应用数量积解决问题时一般有两种方法： (1)已知基向量的模及相互之间的夹角，先用基向量表示题中向量再计算； (2)建立空间直角坐标系利用坐标运算来解决． 1．在空间直角坐标系中，A(1，1，－2)，B(1，2，－3)，C(－1，3，0)，D(x，y，z)，(x，y，z∈R)，若A，B，C，D四点共面，则(　　) A．2x＋y＋z＝1 B.x＋y＋z＝0 C．x－y＋z＝－4 D.x＋y－z＝0 解析：选A.＝(0，1，－1)，＝(－2，2，2)，＝(x－1，y－1，z＋2)，因为A，B，C，D四点共面，所以，，共面，即存在唯一的实数对(λ，μ)，使得＝λ＋μ，即消去λ，μ得2x＋y＋z＝1，故选A. 2．在空间四边形O­ABC中，其对角线为OB，AC，M是OA的中点，G为△ABC的重心，用基向量，，表示向量. 解：如图所示，连接AG并延长交BC于点D，∴D为BC的中点．∴＝(＋)． ∵G为△ABC的重心， ∴＝＝(＋)， 又∵＝－，＝－， ∴＝(＋)＝(－2＋＋)． ∵M为OA的中点，∴＝－. ∴＝－＝(－2＋＋)＋＝－＋＋. 类型2　空间向量与平行垂直问题 空间图形中的平行、垂直问题是立体几何当中最重要的问题之一．利用空间向量证明平行和垂直问题，主要是运用直线的方向向量和平面的法向量，借助空间中已有的一些关于平行和垂直的定理，再通过向量运算来解决． 　如图，在底面是正方形的四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AP＝AB＝2，E，F，G分别是BC，PC，CD的中点． (1)求证：BG⊥平面PAE； (2)在线段BG上是否存在点H，使得FH∥平面PAE？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【尝试解答】　(1)证明　因为四棱锥P-ABCD的底面是正方形，且PA⊥平面ABCD，所以PA，AB，AD两两互相垂直． 以点A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系． 则A(0，0，0)，B(2，0，0)，P(0，0，2)，C(2，2，0)，D(0，2，0)． 因为E，F，G分别是BC，PC，CD的中点， 所以E(2，1，0)，F(1，1，1)，G(1，2，0)， 所以＝(－1，2，0)，＝(0，0，2)，＝(2，1，0)． 因为·＝0，且·＝0， 所以BG⊥AP，BG⊥AE，又AE∩AP＝A， 所以BG⊥平面PAE. (2)假设在线段BG上存在点H，使得FH∥平面PAE.连接FH. 设＝λ(0≤λ≤1)， 则＝＋＝－＋λ＝(1－λ，2λ－1，－1)． 因为FH∥平面PAE，BG⊥平面PAE， 所以·＝(－1)×(1－λ)＋2×(2λ－1)＋0×(－1)＝5λ－3＝0，所以λ＝.所以在线段BG上存在点H，使得FH∥平面PAE，且＝