1.2.3 直线与平面的夹角(课件)-【高考领航】2023-2024学年高中数学选择性必修第一册同步核心辅导与测评（人教B版）

* 课后学习评价 课堂合作探究 课前阅读自学 [素养目标]　1.理解直线与平面的夹角的定义，并能用向量语言表述直线与平面的夹角，重点培养数学抽象、直观想象核心素养．　2.能利用向量方法解决直线与平面的夹角问题，重点提升逻辑推理、数学运算核心素养． 1．2.3　直线与平面的夹角 * 课后学习评价 课堂合作探究 课前阅读自学 课前阅读自学 * 课后学习评价 课堂合作探究 课前阅读自学 直线与平面的夹角 1．直线与平面所成的角 (1)如果一条直线与一个平面_________，则称这条直线与这个平面所成的角为_________． (2)如果一条直线与一个平面_________，或_______________，则称这条直线与这个平面所成的角为_________． (3)平面的斜线与它在平面内的_________所成的_________，称为这条斜线与这个平面所成的角． 垂直 90° 平行 直线在平面内 0° 射影 锐角 知识点一 * 课后学习评价 课堂合作探究 课前阅读自学 2．斜线与平面所成的角的性质 如图所示，设AO是平面α的一条斜线段，O为斜足，A′为A 在平面α内的射影，而OM是平面α内的一条射线，A′M⊥OM. 记∠AOA′＝θ1，∠A′OM＝θ2，∠AOM＝θ. (1)cos θ＝_____________． (2)平面的斜线与平面所成的角，是斜线和这个平面内所有直线所成的角的_________(常称最小角定理)． cos θ1cos θ2 最小角 * 课后学习评价 课堂合作探究 课前阅读自学 (3)空间中任意一条直线与任意一个平面所成的角的大小都是_________，直线与平面所成的角也称为它们的_________． (4)经过平面外一点所作的平面的多条斜线中，斜线段长、射影长及斜线与平面所成的角，只要有_________，则另外两个也对应_________． 确定的 夹角 一个相等 相等 * 课后学习评价 课堂合作探究 课前阅读自学 1．公式cos θ＝cos θ1·cos θ2 也叫“三余弦”公式，θ1，θ2，θ分别是斜线与射影、射影与平面内的直线、斜线与平面内的直线所成的角． 2．在以上公式中，令θ2＝90°，则cos θ＝cos θ1·cos 90°＝0.∴θ＝90°，即当A′O⊥OM时，AO⊥OM，此即三垂线定理；反之，若令θ＝90°，则cos θ1·cos θ2＝0.∵θ1≠90°，∴θ2＝90°.即若OM⊥AO，则A′O⊥OM，此即三垂线定理的逆定理，由此可知三垂线定理及其逆定理可以看成是此公式的特例． [拓展] * 课后学习评价 课堂合作探究 课前阅读自学 sin〈ν，n〉 |cos〈ν，n〉| 知识点二 * 课后学习评价 课堂合作探究 课前阅读自学 × × √ * 课后学习评价 课堂合作探究 课前阅读自学 A * 课后学习评价 课堂合作探究 课前阅读自学 D * 课后学习评价 课堂合作探究 课前阅读自学 4．设ABCD、ABEF都是边长为1的正方形，FA⊥平面ABCD，则异面直线AC与BF所成的角等于________． * 课后学习评价 课堂合作探究 课前阅读自学 答案：60° * 课后学习评价 课堂合作探究 课前阅读自学 课堂合作探究 * 课后学习评价 课堂合作探究 课前阅读自学 定义法求直线与平面的夹角(小组探究) 　如图所示，在三棱锥P­ABC中，PA⊥平面ABC，PA＝AB，∠ABC＝60°，∠BCA＝90°. (1)求证：BC⊥平面PAC； (2)若D为PB的中点，试求AD与平面PAC夹角的正弦值． 例 1 题型 1 * 课后学习评价 课堂合作探究 课前阅读自学 【尝试解答】　(1)证明　因为PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC. 所以PA⊥BC. 又∠BCA＝90°， 所以AC⊥BC. 又AC⊂平面PAC. PA⊂平面PAC，PA∩AC＝A， 所以BC⊥平面PAC. * 课后学习评价 课堂合作探究 课前阅读自学 * 课后学习评价 课堂合作探究 课前阅读自学 用定义法(几何法)求直线和平面所成的角的步骤 (1)作：作(或找)出直线和平面所成的角； (2)证：证明所作的角为直线与平面所成的角； (3)算：解三角形求出直线与平面所成的角． 解后 反思 · * 课后学习评价 课堂合作探究 课前阅读自学 A 活学活用 * 课后学习评价 课堂合作探究 课前阅读自学 向量法求直线与平面的夹角(拓展探究) 　(课本例2拓展)如图，在四棱锥S-ABCD中，AB∥CD，BC⊥CD，△S