3.2 第四课时 利用导数研究不等式恒(能)成立问题-【创新思维】2024高考数学一轮复习高考总复习配套课件（人教版单选 新教材 老高考）

第四课时　利用导数研究不等式恒(能)成立问题 1 一轮 数学 关键能力 · 重点探究 课时作业 · 巩固提升 1 一轮 数学 关键能力 · 重点探究 课时作业 · 巩固提升 [解]　(1)当a＝0时， f(x)＝(x－2)ex，f(0)＝(0－2)e0＝－2， f′(x)＝(x－1)ex， k＝f′(0)＝(0－1)e0＝－1， 所以所求切线方程为y＋2＝－(x－0)， 即x＋y＋2＝0. 1 一轮 数学 关键能力 · 重点探究 课时作业 · 巩固提升 (2)当x≥2时，f(x)≥0恒成立，求a的取值范围． 1 一轮 数学 关键能力 · 重点探究 课时作业 · 巩固提升 1 一轮 数学 关键能力 · 重点探究 课时作业 · 巩固提升 技法点拨 1．不等式恒成立问题的求解策略 已知不等式f(x，λ)≥0(λ为实参数)对任意的x∈D恒成立，求参数λ的取值范围． 1 一轮 数学 关键能力 · 重点探究 课时作业 · 巩固提升 (1)利用导数解决此类问题可以运用分离参数法，其一般步骤如下： 1 一轮 数学 关键能力 · 重点探究 课时作业 · 巩固提升 (2)如果无法分离参数，可以考虑对参数或自变量进行分类讨论求解，如果是二次不等式恒成立的问题，可以考虑二次项系数与判别式的方法(a＞0，Δ＜0或a＜0，Δ＜0)求解． 2．不等式中的存在性问题的解法 常常转化为利用导数求函数的最值问题或者函数的值域问题． 1 一轮 数学 关键能力 · 重点探究 课时作业 · 巩固提升 迁移应用 (2023·张掖模拟)已知函数f(x)＝2(x－1)ex. (1)若函数f(x)在区间(a，＋∞)上单调递增，求f(a)的取值范围； 解：(1)由f′(x)＝2xex＞0，得x＞0，所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增，所以a≥0，所以f(a)≥f(0)＝－2，所以f(a)的取值范围是[－2，＋∞)． 1 一轮 数学 关键能力 · 重点探究 课时作业 · 巩固提升 (2)设函数g(x)＝ex－x＋p.若存在x0∈[1，e]，使不等式g(x0)≥f(x0)－x0成立，求p的取值范围． 解：(2)因为存在x0∈[1，e]，使不等式g(x0)≥2(x0－1)ex0－x0成立，所以存在x0∈[1，e]，使p≥(2x0－3)ex0成立．令h(x)＝(2x－3)ex，从而p≥h(x)min.h′(x)＝(2x－1)ex.因为x≥1，所以2x－1≥1，ex＞0，所以h′(x)＞0，所以h(x)＝(2x－3)ex在[1，e]上单调递增，所以h(x)min＝h(1)＝－e，所以p≥－e，所以实数p的取值范围是[－e，＋∞)． 1 一轮 数学 关键能力 · 重点探究 课时作业 · 巩固提升 题型二　讨论参数法求参数范围　　互动探究 [例]　已知函数f(x)＝aln x＋x2－(a＋2)x. (1)当a＝4时，求函数f(x)的单调递增区间； 1 一轮 数学 关键能力 · 重点探究 课时作业 · 巩固提升 (2)当a＞0时，对于任意的x∈[1，＋∞)，不等式f(x)＞1－a2恒成立，求实数a的取值范围． 1 一轮 数学 关键能力 · 重点探究 课时作业 · 巩固提升 1 一轮 数学 关键能力 · 重点探究 课时作业 · 巩固提升 1 一轮 数学 关键能力 · 重点探究 课时作业 · 巩固提升 1 一轮 数学 关键能力 · 重点探究 课时作业 · 巩固提升 迁移应用 已知函数f(x)＝ex－1－ax＋ln x(a∈R)． (1)若函数f(x)在x＝1处的切线与直线3x－y＝0平行，求a的值； 1 一轮 数学 关键能力 · 重点探究 课时作业 · 巩固提升 (2)若不等式f(x)≥ln x－a＋1对一切x∈[1，＋∞)恒成立，求实数a的取值范围． 解：(2)f(x)≥ln x－a＋1可化为ex－1－ax＋a－1≥0， 令φ(x)＝ex－1－ax＋a－1， 则当x∈[1，＋∞)时，φ(x)min≥0. ∵φ′(x)＝ex－1－a， 1 一轮 数学 关键能力 · 重点探究 课时作业 · 巩固提升 ①当a≤1时，φ′(x)≥0， ∴φ(x)在[1，＋∞)上单调递增， ∴φ(x)min＝φ(1)＝1－a＋a－1＝0≥0恒成立， ∴a≤1符合题意． ②当a>1时， 令φ′(x)＝0， 得x＝ln a＋1>1. 1 一轮 数学 关键能力 · 重点探究 课时作业 · 巩固提升 当x∈(1，ln a＋1)时，φ′(x)<0， 当x∈(ln a＋1，＋∞)时，φ′(x)>0， ∴φ(x)在(1，ln a＋1)上单调递减， 在(ln a＋1，＋∞)上单调递增， ∴φ(x)min＝φ(ln a＋