3.2 第三课时 利用导数证明不等式-【创新思维】2024高考数学一轮复习高考总复习配套课件（人教版单选 新教材 老高考）

第三课时　利用导数证明不等式 1 一轮 数学 关键能力 · 重点探究 课时作业 · 巩固提升 题型一　转化为一个函数的最值(值域)证明不等式　　互动探究 [例]　(2021·全国乙卷)设函数f(x)＝ln(a－x)，已知x＝0是函数y＝xf(x)的极值点． (1)求a； 1 一轮 数学 关键能力 · 重点探究 课时作业 · 巩固提升 1 一轮 数学 关键能力 · 重点探究 课时作业 · 巩固提升 易知当x∈(－∞，1)时，p′(x)<0恒成立． ∴p(x)在(－∞，1)上为减函数．又p(0)＝0， ∴当x∈(－∞，0)时，p(x)>0； 当x∈(0,1)时，p(x)<0， ∴函数y＝xf(x)＝xln(1－x)在(－∞，0)上为增函数，在(0,1)上为减函数， ∴当a＝1时，x＝0是函数y＝xf(x)的极值点，∴a＝1. 1 一轮 数学 关键能力 · 重点探究 课时作业 · 巩固提升 1 一轮 数学 关键能力 · 重点探究 课时作业 · 巩固提升 只需证x＋(1－x)ln(1－x)>0. 令h(x)＝x＋(1－x)ln(1－x)， 则h′(x)＝1－ln(1－x)－1＝－ln(1－x)， ∴当x∈(0,1)时，h′(x)>0，h(x)单调递增， 当x∈(－∞，0)时，h′(x)<0，h(x)单调递减， ∴当x∈(－∞，0)∪(0,1)时，h(x)>h(0)＝0， ∴x＋(1－x)ln(1－x)>0在(－∞，0)∪(0,1)上恒成立， ∴g(x)<1. 1 一轮 数学 关键能力 · 重点探究 课时作业 · 巩固提升 技法点拨 解答与不等式相关的参数范围问题的两种方法 (1)分类讨论法：按照参数的取值分类讨论，利用导数，确定符合题意的参数范围． (2)参变分离法：把参数与变量分离，构造新函数，利用导数研究单调性、最值等进而求解．　 1 一轮 数学 关键能力 · 重点探究 课时作业 · 巩固提升 1 一轮 数学 关键能力 · 重点探究 课时作业 · 巩固提升 1 一轮 数学 关键能力 · 重点探究 课时作业 · 巩固提升 1 一轮 数学 关键能力 · 重点探究 课时作业 · 巩固提升 1 一轮 数学 关键能力 · 重点探究 课时作业 · 巩固提升 题型二　转化为两个函数证明不等式　　互动探究 [例]　(2023·福州模拟)已知函数f(x)＝eln x－ax(a∈R)． (1)讨论f(x)的单调性； 1 一轮 数学 关键能力 · 重点探究 课时作业 · 巩固提升 1 一轮 数学 关键能力 · 重点探究 课时作业 · 巩固提升 (2)当a＝e时，证明：xf(x)－ex＋2ex≤0. 1 一轮 数学 关键能力 · 重点探究 课时作业 · 巩固提升 1 一轮 数学 关键能力 · 重点探究 课时作业 · 巩固提升 1 一轮 数学 关键能力 · 重点探究 课时作业 · 巩固提升 1 一轮 数学 关键能力 · 重点探究 课时作业 · 巩固提升 技法点拨 若直接求导比较复杂或无从下手时，可将待证式进行变形，构造两个都便于求导的函数，从而找到可以传递的中间量，如最值，进而达到证明的目标． 1 一轮 数学 关键能力 · 重点探究 课时作业 · 巩固提升 迁移应用 (2023·河南郑州三模)已知函数f(x)＝xln x－ax＋1. (1)求函数f(x)的最小值； 解：(1)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝ln x＋1－a. 令f′(x)＝ln x＋1－a＝0，得x＝ea－1，且当x∈(0，ea－1)时，f′(x)<0；当x∈(ea－1，＋∞)时，f′(x)>0. 所以f(x)在x＝ea－1处取得极小值亦即最小值f(ea－1)＝(a－1)ea－1－aea－1＋1＝1－ea－1. 1 一轮 数学 关键能力 · 重点探究 课时作业 · 巩固提升 1 一轮 数学 关键能力 · 重点探究 课时作业 · 巩固提升 1 一轮 数学 关键能力 · 重点探究 课时作业 · 巩固提升 1 一轮 数学 关键能力 · 重点探究 课时作业 · 巩固提升 1 一轮 数学 关键能力 · 重点探究 课时作业 · 巩固提升 (2)证明：当x>2时，f(x)<ex＋(a－1)x－2a. 1 一轮 数学 关键能力 · 重点探究 课时作业 · 巩固提升 1 一轮 数学 关键能力 · 重点探究 课时作业 · 巩固提升 技法点拨 在证明不等式的时候，若直接证明比较困难，则可将不等式中的部分项进行放大或缩小，然后证明放缩后的不等式成立，再根据不等式的传递性证明原不等式成立，这种方法就是放缩法．常用的放缩技巧有：(1)ex≥x＋1；