第六章 立体几何初步-【高考领航】2023-2024学年高中数学必修第二册同步核心辅导与测评课时作业（北师大版）

章末检测(六) (时间：120分钟　满分：150分) 一、选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．设α，β，γ为三个不同的平面，m，n为两条不同的直线，则下列命题中为假命题的是(　　) A．当α⊥β时，若β∥γ，则α⊥γ B．当m⊥α，n⊥β时，若α∥β，则m∥n C．当m⊂α，n⊂β时，若α∥β，则m，n是异面直线 D．当m∥n，n⊥β时，若m⊂α，则α⊥β 解析：C　对于A，根据平面与平面平行、垂直的性质，可得A正确；对于B，根据平面与平面平行、线面垂直的性质，可得B正确；对于C，m、n可能异面，也可能平行，故C错误；对于D，由m∥n，n⊥β可知m⊥β，又m⊂α，所以α⊥β，故D正确．故选C． 2．设a，b为空间两条不同的直线，α，β为空间两个不同的平面，则下列命题中正确的是(　　) A．若a不平行于α，则在α内不存在b，使得b平行于a B．若a不垂直于α，则在α内不存在b，使得b垂直于a C．若α不平行于β，则在β内不存在a，使得a平行于α D．若α不垂直于β，则在β内不存在a，使得a垂直于α 解析：D　对于A，当a⊂α，在α内存在直线b，使得b∥a，故A错误；对于B，当a⊂α时，在α内存在直线b，使得b⊥a，故B错误；对于C，如在正方体ABCD-A1B1C1D1中，平面ABCD不平行于平面ABB1A1，但A1B1∥平面ABCD，A1B1⊂平面ABB1A1，故C错误；由平面与平面垂直的判定定理知D正确．故选D． 3．圆木长2丈4尺，圆周为5尺，葛藤从圆木的底部开始向上生长，绕圆木两周，刚好顶部与圆木平齐，问葛藤最少长多少尺？这个问题的答案为(注：1丈等于10尺)(　　) A．29尺　　　　　　　 B．24尺 C．26尺 D．30尺 解析：C　由题意可知，圆柱的侧面展开图是矩形，其中一条边(即圆木的高)长为24尺，其邻边长为5尺，因此葛藤长＝26(尺)．故选C． 4.如图，在底面为正方形，侧棱垂直于底面的四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AA1＝2AB＝2，则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为(　　) A． B． C． D． 解析：D　如图，连接BC1，易证BC1∥AD1，则∠A1BC1即为异面直线A1B与AD1所成的角．连接A1C1，由AB＝1，AA1＝2，易得A1C1＝，A1B＝BC1＝，故cos∠A1BC1＝＝. 5．如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，O是B1D1的中点，直线A1C交平面AB1D1于点M，则下列结论正确的是(　　) A．A，M，O三点共线 B．A，M，O，A1不共面 C．A，M，C，O不共面 D．B，B1，O，M共面 解析：A　连接A1C1，AC(图略)，则A1C1∥AC，所以A1，C1，C，A四点共面．所以A1C⊂平面ACC1A1. 因为M∈A1C，所以M∈平面ACC1A1.又因为M∈平面AB1D1， 所以点M在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上． 同理点O在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上， 所以A，M，O三点共线． 6．已知四棱锥S-ABCD的所有顶点在同一球面上，底面ABCD是正方形且球心O在此平面内，当四棱锥的体积取得最大值时，四棱锥的表面积等于16＋16，则球O的体积等于(　　) A． B． C． D． 解析：D　由题意，知当此四棱锥体积取得最大值时，四棱锥为正四棱锥．如图，设球O的半径为R，则AC＝2R，SO＝R，∴该四棱锥的底面边长为R，则有(R)2＋4××R· ＝16＋16，解得R＝2， ∴球O的体积是πR3＝，故选D． 7．已知正三棱柱ABC-A1B1C1的侧面积是其底面面积的2倍，则AB1与侧面ACC1A1所成角的正弦值等于(　　) A． B． C． D． 解析：A　设正三棱柱的底面边长为a，侧棱长为b. 则由题意可得＝2，整理得a＝b. 如图取A1C1的中点E，连接B1E与AE. 则B1E⊥平面ACC1A1，所以∠B1AE是直线AB1与平面ACC1A1所成的角． 在△A1B1C1中，B1E＝a. 在Rt△A1B1A中，AB1＝ ＝a. 在Rt△AB1E中，sin∠B1AE＝＝＝. 8．已知三棱柱ABC-A1B1C1，平面β截此三棱柱，分别与AC，BC，B1C1，A1C1交于点E，F，G，H，且直线CC1∥平面β.有下列三个命题： ①四边形EFGH是平行四边形； ②平面β∥平面ABB1A1； ③若三棱柱ABC-A1B1C1是直棱柱，则平面β⊥平面A1B1C1. 其中正确的命题为(　　) A．①② B．①③ C．①②③ D．②③ 解析：B　在三棱柱ABC-A1B1C1中，平面β截此三棱柱，分别与AC，BC，B1C1，A1C1交于点E，F，G，H，且直线CC1∥平面β