第五章 复数-【高考领航】2023-2024学年高中数学必修第二册同步核心辅导与测评课时作业（北师大版）

章末检测(五) (时间：120分钟　满分：150分) 一、选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．已知a∈R，若a－1＋(a－2)i(i为虚数单位)是实数，则a＝(　　) A．1　　 B．－1　　　 C．2　　 D．－2 解析：C　由题可知复数的虚部为a－2，若该复数为实数，则a－2＝0，即a＝2. 2．在复平面内，复数z对应的点的坐标是(1，2)，则i·z＝(　　) A．1＋2i B．－2＋i C．1－2i D．－2－i 解析：B　z＝1＋2i，∴i·z＝i(1＋2i)＝－2＋i.故选B． 3．(1－i)4＝(　　) A．－4 B．4 C．－4i D．4i 解析：A　(1－i)4＝[(1－i)2]2＝(－2i)2＝4i2＝－4. 4.＝(　　) A．1 B．－1 C．i D．－i 解析：D　＝＝＝－i. 5．若(1＋i)＝1－i，则z＝(　　) A．1－i B．1＋i C．－i D．i 解析：D　因为＝＝＝＝－i，所以z＝i.故选D． 6．如果一个复数与它的模的和为5＋i，那么这个复数是(　　) A． B．i C．＋i D．＋2i 解析：C　设所求的复数为x＋yi(x，y∈R)，由题意知x＋yi＋＝5＋i. ∴(x＋)＋yi＝5＋i. 由复数相等的定义，得 解得 故所求的复数为＋i. 7．已知复数z＝，是z的共轭复数，则z·＝(　　) A． B． C．1 D．2 解析：A　z＝＝＝＝＝－＋i， 所以＝－－i. 所以z·＝(－＋i)(－－i)＝＋＝. 8．已知i为虚数，且复数z满足z(1＋2i)＝1＋i3，则关于复数z的四个命题： ①复数z的虚部为－i； ②|z|＝； ③复数z对应的点在第三象限； ④z<1＋2i. 其中正确命题的个数为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 解析：A　z＝＝＝，则复数z的虚部为－，故①错误；②|z|＝ ＝，故②错误；③复数z对应的点为，为第三象限内的点，故③正确；④虚数不能比较大小，故④错误．故选A． 二、选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分) 9．已知复数z，下列结论正确的是(　　) A．“z＋＝0”是“z为纯虚数”的充分不必要条件 B．“z＋＝0”是“z为纯虚数”的必要不充分条件 C．“z＝”是“z为实数”的充要条件 D．“z·∈R”是“z为实数”的充分不必要条件 解析：BC　对于复数z，若z＋＝0，z不一定为纯虚数，可以为0，反之，若z为纯虚数，则z＋＝0，∴“z＋＝0”是“z为纯虚数”的必要不充分条件，A错误，B正确；“z＝”是“z为实数”的充要条件，C正确；若z·∈R，z不一定为实数，也可以为虚数，反之，若z∈R，则z·∈R.∴“z·∈R”是“z为实数”的必要不充分条件，D错误．故选BC． 10．设z＝(2t2＋5t－3)＋(t2＋2t＋2)i，t∈R，i为虚数单位，则以下结论正确的是(　　) A．z对应的点在第一象限 B．z一定不为纯虚数 C．z一定不为实数 D．对应的点在实轴的下方 解析：CD　对于A，2t2＋5t－3＝2－>－，t2＋2t＋2＝(t＋1)2＋1>0，所以复数z对应的点可能在第一象限，也可能在第二象限，故A错误；对于B．当即t＝－3或t＝时，z为纯虚数，故B错误；对于C，因为t2＋2t＋2>0恒成立，所以z一定不为实数，故C正确；对于D，由选项A的分析知，z对应的点在实轴的上方，所以对应的点在实轴的下方，故D正确．故选CD． 11．已知z1与z2是共轭复数(虚部均不为0)，有4个命题：①z<|z2|2；②z1z2＝|z1z2|；③z1＋z2∈R；④∈R.其中一定正确的是(　　) A．① B．② C．③ D．④ 解析：BC　z1与z2是共轭复数，设z1＝a＋bi，z2＝a－bi(a，b∈R，b≠0)．命题①z<|z2|2，z＝a2－b2＋2abi，|z2|2＝a2＋b2，虚数不能比较大小，因此不正确； ②z1z2＝|z1z2|＝a2＋b2，正确； ③z1＋z2＝2a∈R，正确； ④＝＝＝＋i，不一定是实数，因此不一定正确．故选BC． 12．设△ABC的两个内角A、B所对的边分别为a、b，复数z1＝a＋bi，z2＝cos A＋icos B，若复数z1·z2在复平面上对应的点在虚轴上，则△ABC的形状可能是(　　) A．等腰三角形 B．等腰直角三角形 C．等边三角形 D．直角三角形 解析：AD　z1·z2＝(a＋bi)(cos A＋icos B) ＝(acos A－bcos B)＋(acos B＋bcos A)i. ∵z1·z2在复平面上对应的点在虚轴上，