2.2.1 不等式及其性质-【高考领航】2023-2024学年高中数学必修第一册同步核心辅导与测评（人教B版）

2．2　不等式 2．2.1　不等式及其性质 [素养目标]　1.通过具体情境，感受在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，了解不等式(组)的实际背景，培养数学抽象素养．　2.掌握不等式的性质，了解综合法、分析法与反证法，并能证明简单的不等式． 　实数的运算与其大小的关系 实数的运算与其大小的关系： a－b＞0⇔a＞b； a－b＝0⇔a＝b； a－b＜0⇔a＜b． [点睛] 不等式a≤b的含义是指a＜b或a＝b等价于“a不大于b”，即若a＜b与a＝b中有一个正确即a≤b正确． 　不等式的性质 性质 名称 性质内容 注意 性质1 可加性 a＞b⇔a＋c＞b＋c 可逆 性质2 可乘性 如果c＞0，a＞b⇔ac＞bc c的符号 性质3 可乘性 如果c＜0，a＞b⇔ac＜bc 性质4 传递性 a＞b，b＞c⇒a＞c 不可逆 性质5 对称性 a>b⇔b<a 可逆 推论1 移项法则 a＋b＞c⇔a＞c－b 可逆 推论2 同向可加性 ⇒a＋c＞b＋d 同向，不可逆 推论3 同向同正可乘性 ⇒ac＞bd 同向，同正不可逆 推论4 可乘方性 a＞b＞0⇒an＞bn(n∈N，n＞1) 同正，不可逆 推论5 可开方性 a＞b＞0⇔＞ 同正，可逆 [点睛] 1．注意不等式性质成立的前提条件，如推论2只要求同向即可，推论3不仅同向而且同正． 2．注意不等式性质的等价性．有些性质是单向，如推论2，a＞b，c＞d是a＋c＞b＋d的充分不必要条件．有些性质是双向的，如性质3，如果c＜0，则a＞b是ac＜bc的充要条件． 　综合法、分析法、反证法 方法 定义 综合法 从已知条件出发，综合利用各种结果，经过逐步推导最后得到结论的方法． 分析法 从要证明的结论出发、逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止． 反证法 首先假设结论的否定成立，然后由此进行推理得到矛盾，最后得出假设不成立．反证法是一种间接证明的方法. [预习诊断] 1．思维辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)在一个不等式的两边同乘一个非零实数，不等式仍然成立．(　　) (2)同向不等式具有可加性和可乘性．(　　) (3)若两个数的比值大于1，则分子上的数就大于分母上的数．(　　) (4)若a＞b，且ab≠0，则＜.(　　) (5)若a＞b，则a2＞b2.(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)×　(5)× 2．下列命题中正确的是(　　) A．a＞b，c＞d⇒a－c＞b－d B．a＞b⇒＞ C．ac＜bc⇒a＜b D．ac2＞bc2⇒a＞b 解析：对于A，如3＞2，2＞0，但3－2＞2－0不成立，故A不正确；对于B，当c＜0时，a＞b⇒＜，故B不正确；对于C，当c＜0时，ac＜bc⇒a＞b，故C不正确，D正确，选D． 答案：D 3．设M＝a2，N＝－a－1，则M，N的大小关系为________． 解析：M－N＝a2＋a＋1＝＋＞0，∴M ＞N. 答案：M ＞N 4．(多选题)下列条件中能使<成立的是(　　) A．b>0>a　　　　　　　　 B．0>a>b C．a>0>b D．a>b>0 解析：由＜，可得－＜0，即＜0， 故ABD可推出＜. 答案：ABD 　用不等式(组)表示不等关系(小组探究) 　(链接教材“情境与问题”)某矿山车队有4辆载重为10 t的甲型卡车和7辆载重为6 t的乙型卡车，且有9名驾驶员，此车队每天至少要运360 t矿石至冶炼厂，已知甲型卡车每辆每天可往返6次，乙型卡车每辆每天可往返8次，写出满足上述所有不等关系的不等式． 【尝试解答】　设每天派出甲型卡车x辆，乙型卡车y辆， 则即 用不等式(组)表示不等关系的解题思路 用不等式(组)正确表示出不等关系，要先弄清题意，分清是常量与常量，变量与变量，变量与常量，还是函数与函数之间的不等关系；然后类比等式的建立找到不等关系，选准不等号，将量与量之间用不等号连接．要注意不等式与不等关系的对应，做到不重、不漏，尤其要检验实际问题中变量的取值范围． 1．两种药片的有效成分如下表所示： 成分 药片 阿司匹林 (mg) 小苏打 (mg) 可待因 (mg) A(1片) 2 5 1 B(1片) 1 7 6 若要求至少提供12 mg阿司匹林，70 mg小苏打和28 mg可待因，则两种药片的数量应满足怎样的不等关系？用不等式的形式表示出来． 解：设需要A种药片x片，B种药片y片， 由题意可得： 　比较数(式)的大小(变通探究) 　(链接教材例1)(1)设m＝2a2＋2a＋3，n＝(a＋1)2，则m，n的大小关系是________