1.2.2 全称量词命题与存在量词命题的否定-【高考领航】2023-2024学年高中数学必修第一册同步核心辅导与测评（人教B版）

1．2.2　全称量词命题与存在量词命题的否定 [素养目标]　1.理解命题的否定，会写一个命题的否定，培养数学抽象素养．　2.能正确地对含有一个量词的命题进行否定，提升逻辑推理素养． 　命题的否定 1．一般地，对命题p加以否定，就得到一个新的命题，记作“¬p”，读作“非p”或“p的否定”． 2．命题p与¬p真假关系：真假相反． [点睛] 1．“非p”中“非”的含义就是否定的意思，即从日常语言中的“不是”“全盘否定”“问题的反面”抽象而来的． 2．“非”：从集合的角度看，若设P＝{x|x满足命题p}，则“¬p”对应于集合P在全集U中的补集∁UP＝{x|x∈U，且x∉P}，p与“¬p”的真假关系：真假对立． 　全称量词命题与存在量词命题的否定 1．一般地，全称量词命题“∀x∈M，q(x)”的否定是存在量词命题即：∃x∈M，¬q(x)． 2．一般地，存在量词命题“∃x∈M，p(x)”的否定是全称量词命题即：∀x∈M，¬p(x)． [点睛] 1．全称量词命题的否定 全称量词命题的否定是一个存在量词命题，否定全称量词命题时关键是找出全称量词，明确命题所提供的性质． 2．存在量词命题的否定 存在量词命题的否定是一个全称量词命题，否定存在量词命题时关键是找出存在量词，明确命题所提供的性质． 3．一些常见词语的否定 词语 是 一定是 都是 大于 小于 且 词语的否定 不是 一定 不是 不都 是 小于 或等于 大于 或等于 或 词语 必有 一个 至少 有n个 至多 有一个 所有 x成立 所有x 不成立 词语 的否定 一个 也没有 至多有 n－1个 至少 有两个 存在一个 x不成立 存在一 个x成立 [预习诊断] 1．命题“∀x2＞1，x＞1”的否定是(　　) A．∀x2＞1，x≤1　　　 B．∀x2≤1，x≤1 C．∃x2＞1，x≤1 D．∃x2≤1，x≤1 解析：所给命题∀x2＞1，x＞1是全称量词命题，它的否定是存在量词命题为∃x2＞1，x≤1. 答案：C 2．命题：“∃x∉M，p(x)”的否定为________． 答案：∀x∉M，¬p(x) 3．命题：“有的四边形是平行四边形”的否定为________． 答案：所有的四边形都不是平行四边形 4．命题：“等圆的面积相等”的否定为________． 答案：存在等圆其面积不相等 　全称量词命题的否定(小组探究) 　(链接教材例1)写出下列命题的否定，并判断其真假． (1)p：∀x∈R，x2－x＋≥0； (2)q：所有的正方形都是矩形． 【尝试解答】　(1)¬p：∃x∈R，x2－x＋＜0，因为p为真命题，所以¬p为假命题． (2)至少存在一个正方形不是矩形，因为q为真命题，所以¬q为假命题． 1．对全称量词命题否定的两个步骤 (1)改变量词：把全称量词换为恰当的存在量词． (2)否定结论：原命题中的“是”“成立”等改为“不是”“不成立”等． 2．全称量词命题否定后的真假判断方法 全称量词命题的否定是存在量词命题，其真假性与全称量词命题相反；要说明一个全称量词命题是假命题，只需举一个反例即可． 1．命题“任意x∈[0，＋∞)，x3＋x≥0”的否定是(　　) A．任意x∈(－∞，0)，x3＋x＜0 B．任意x∈(－∞，0)，x3＋x≥0 C．存在x∈[0，＋∞)，x3＋x＜0 D．存在x∈[0，＋∞)，x3＋x≥0 答案：C 　存在量词命题的否定(互动探究) 　(链接教材例2)(1)命题“∃x∈R，f(x)＝x”的否定是(　　) A．∀x∈R，f(x)＝x B．不存在x∈R，f(x)≠x C．∀x∈R，f(x)≠x D．∃x∈R，f(x)≠x (2)写出下列命题的否定，并判断其真假 ①∃a，b∈R，方程ax＋b＝0无解； ②存在偶函数为单调函数． 【尝试解答】　(1)命题的否定为：∀x∈R，f(x)≠x，故选C． 【答案】　C (2)①命题的否定：∀a，b∈R，方程ax＋b＝0至少有一个解，它是假命题． ②所有偶函数都不是单调函数，真命题． 对存在量词命题进行否定的步骤与方法 (1)确定类型：是存在量词命题还是全称量词命题． (2)改变量词：把存在量词换为恰当的全称量词． (3)否定结论：原命题中“是”“有”“存在”“成立”等改为“不是”“没有”“不存在”“不成立”等． 2．(教材共享·苏教好题)写出下列命题的否定： (1)所有的无理数都是实数； (2)∀x∈R，x2＋x＋1>0； (3)菱形不是矩形； (4)∃x∈R，x2－x＋1＝0. 解析：(1)“所有的无理数都是实数”的否定是“有的无理数不是实数”． (2)“∀x∈R，x2＋x＋1>0”的否定是“∃x∈R，x2＋x＋1≤0”． (3)“菱形不是矩形”是指“任意一个菱形都不是矩形