1.2.1 命题与量词-【高考领航】2023-2024学年高中数学必修第一册同步核心辅导与测评（人教B版）

1．2　常用逻辑用语 1．2.1　命题与量词 [素养目标]　1.了解命题的意义，能判断命题的真假，培养数学抽象素养．　2.理解量词的意义，会判断全称量词命题、存在量词命题的真假，培养逻辑推理素养． 　命题 [点睛] 命题语句的特点 (1)表述命题的语句必须是陈述句． (2)表述命题的语句能够判断真假． 　全称量词与全称量词命题 定义 符号 全称 量词 一般地，“任意”“所有”“每一个”在陈述中表示所述事物的全体 ∀ 全称量 词命题 含有全称量词的命题 ∀x∈M，r(x) 　存在量词和存在量词命题 定义 符号 存在 量词 “存在”“有”“至少有一个”在陈述中表示所述事物的个体或部分 ∃ 存在量 词命题 含有存在量词的命题 ∃x∈M，s(x) [点睛] 理解全称量词命题及存在量词命题时应关注的三点 (1)全称量词命题就是陈述某集合中所有元素都具有某种性质的命题． (2)有些命题省去了全称量词，但仍是全称量词命题，如“有理数是实数”，就是“所有的有理数都是实数”． (3)存在量词命题就是陈述某集合中存在一个或部分元素具有某种性质的命题． [预习诊断] 1．已知下列语句：①平行四边形不是梯形；②是无理数；③方程9x2－1＝0的解是x＝±；④3a＞a；⑤2023年4月23日是中国人民解放军海军建军74周年的日子．其中命题的个数是(　　) A．2　　　 B．3　　　　 C．4　　　 D．5 解析：①、②、③、⑤是命题，④不是，故选C． 答案：C 2．下列命题中含有全称量词的是(　　) A．至少有一个自然数是2的倍数 B．存在小于零的整数 C．方程3x＝2有实数根 D．无理数是小数 解析：D中“无理数”指的是所有的无理数． 答案：D 3．下列语句是存在量词命题的是(　　) A．整数n是2和7的倍数 B．存在整数n，使n能被11整除 C．x＞7 D．∀x∈M，p(x)成立 解析：B选项中有存在量词“存在”，故B项是存在量词命题，A和C不是命题，D是全称量词命题． 答案：B 4．下列命题：①偶数都可以被2整除；②角平分线上的任一点到这个角的两边的距离相等；③正四棱锥的侧棱长相等；④有的实数是无限不循环小数；⑤有的菱形是正方形；⑥存在三角形其内角和大于180°. 既是全称量词命题又是真命题的是____________，既是存在量词命题又是真命题的是____________(填上所有满足要求的序号)． 解析：①是全称量词命题，是真命题；②是全称量词命题，是真命题；③是全称量词命题，即：任意正四棱锥的侧棱长相等，是真命题；④含存在量词“有的”，是存在量词命题，是真命题；⑤是存在量词命题，是真命题；⑥是存在量词命题，是假命题，因为任意三角形内角和为180°. 答案：①②③　④⑤ 　判断命题的真假(小组探究) 　(1)能说明命题“对于任何实数a，|a|>－a”是假命题的一个反例可以是(　　) A．a＝－2 B．a＝ C．a＝1 D．a＝ (2)下列命题是真命题的是(　　) A．空集是任何集合的真子集 B．等腰三角形是锐角三角形 C．函数y＝ax2＋x＋1是二次函数 D．若a∈(A∩B)，则a∈B 【尝试解答】　(1)说明命题“对于任何实数a，|a|>a”是假命题的一个反例可以是a＝－2，当a＝－2时，|a|＝－a. (2)空集是任何非空集合的真子集，故选项A错误；等腰三角形顶角可以为钝角，故选项B错误；函数y＝ax2＋x＋1，当a＝0时是一次函数，故选项C错误；若a∈(A∩B)，则a是集合A，B的公共元素，所以a∈B． 【答案】　(1)A　(2)D 判断命题真假的方法 (1)真命题的判断方法 要判断一个命题是真命题，一般要有严格的证明或有事实依据，比如根据已学过的定义、公理、定理证明或根据已知的正确结论推证． (2)假命题的判断方法 通过构造一个反例否定命题的正确性，这是判断一个命题为假命题的常用方法． 1．下列命题中，是真命题的是(　　) A．若ab＝0，则a2＋b2＝0 B．若a＞b，则＜ C．若M∩N＝M，则N⊆M D．若M⊆N，则M∩N＝M 解析：A中，a＝0，b≠0时，a2＋b2＝0不成立；B中，a＝2，b＝－1时，a＞b，但＜－1不成立；C中，M∩N＝M，说明M⊆N；D中，M⊆N，则M∩N＝M成立． 答案：D 　全称量词命题和存在量词命题真假的判断(互动探究) 　(链接教材例题)判断下列命题的真假． (1)∀x∈R，x都有平方根； (2)存在一个无理数x，使x2也是无理数； (3)∃x∈R，使x2＋x＋1＝0； (4)任何一个集合的子集至少有两个； (5)正方形都是菱形． 【尝试解答】　(1)假命题　若x＜0，则x无平方根； (2)真命题　如：x＝，x2＝＝为无理数； (3)假命题　x2＋x＋1＝0无