1.1.2 集合的基本关系-【高考领航】2023-2024学年高中数学必修第一册同步核心辅导与测评（人教B版）

1.1.2　集合的基本关系 [素养目标]　1.理解子集、真子集、相等集的概念，发展数学抽象素养．　2.能识别集合的子集、真子集，会判断集合间的关系，提升逻辑推理素养． 　子集 1．一般地，如果集合A中的任意一个元素都是集合B的元素，那么集合A称为集合B的子集，记作A⊆B或B⊇A． 2．如果A不是B的子集，则记作AB或B⊉A． 3．对任意集合A，都有A⊆A，∅⊆A． [点睛] “A是B的子集”的含义是任意x∈A都能推出x∈B． 　真子集 1．一般地，如果集合A是集合B的子集，并且B中至少有一个元素不属于A，那么集合A称为集合B的真子集，记作AB(或BA)，读作“A真包含于B”(或“B真包含A”)． 2.如果用平面上一条封闭曲线的内部来表示集合，那么我们就可作出示意图来形象地表示集合之间的关系，这种示意图通常称为维恩图．例如，A是B的真子集，可用维恩图表示，如图所示． 3．子集、真子集的性质： (1)对于集合A，B，C，如果A⊆B，B⊆C，则A⊆C； (2)对于集合A，B，C，如果AB，BC，则AC． [点睛] 在真子集的定义中，AB首先要满足A⊆B，其次至少有一个元素x∈B但x∉A． 　集合的相等与子集的关系 1．一般地，如果集合A和集合B的元素完全相同，则称集合A与集合B相等，记作A＝B．读作“A等于B”． 2．由集合相等的定义可知：如果A⊆B且B⊆A，则A＝B；反之，如果A＝B，则A⊆B且B⊆A． [点睛] 对任意集合A，B，C若A＝B，B＝C，则A＝C． [预习诊断] 1．思维辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)3⊆{3，4，5}．(　　) (2){1，2，7}⊆{1，2，8}．(　　) (3)ZQR.(　　) (4)任何集合都有子集和真子集．(　　) 答案：(1)×.“⊆”表示集合与集合之间的关系，而不是元素和集合之间的关系． (2)×.因为7∉{1，2，8}，所以{1，2，7}⊆{1，2，8}错误． (3)√.整数集是有理数集的真子集，有理数集是实数集的真子集，故ZQR正确． (4)×.空集只有子集，没有真子集． 2．设集合M＝{x∈R|x＜3}，a＝，则下列选项正确的是(　　) A．a∉M　　　　　 B．{a}∈M C．a⊆M D．{a}⊆M 解析：因为a＝＜3，所以a∈M，所以{a}⊆M. 答案：D 3．已知集合A＝{x|－1＜x＜4}，B＝{x|x－5＜0}，则集合A与B之间的关系是________． 解析：集合B＝{x|x＜5}， 用数轴表示集合A，B，如图所示，由图可知AB． 答案：AB 4．已知集合A＝{0，1}，B＝{－1，0，a＋3}，且A⊆B，则a＝________． 解析：因为A⊆B，所以a＋3＝1， 即a＝－2. 答案：－2 　有限集合子集、真子集的确定(小组探究) 　(链接教材例1)(1)写出集合{0，1，2}的所有子集，并指出其中哪些是它的真子集； (2)填写下表，并回答问题： 集合 集合的子集 子集的个数 ∅ {a} {a，b} {a，b，c} 由此猜想：含n个元素的集合{a1，a2，…，an}的所有子集的个数是多少？真子集的个数及非空真子集的个数呢？ 【尝试解答】　(1)不含任何元素的子集为∅； 含有一个元素的子集为{0}，{1}，{2}； 含有两个元素的子集为{0，1}，{0，2}，{1，2}； 含有三个元素的子集为{0，1，2}． 故集合{0，1，2}的所有子集为∅，{0}，{1}，{2}，{0，1}，{0，2}，{1，2}，{0，1，2}． 其中除去集合{0，1，2}，剩下的都是{0，1，2}的真子集． (2) 集合 集合的子集 子集的个数 ∅ ∅ 1 {a} ∅，{a} 2 {a，b} ∅，{a}，{b}，{a，b} 4 {a，b，c} ∅，{a}，{b}，{c}，{a，b}，{a，c}，{b，c}，{a，b，c} 8 由此猜想：含n个元素的集合{a1，a2，…，an}的所有子集的个数是2n，真子集的个数是2n－1，非空真子集的个数是2n－2. 1．分类讨论是写出所有子集的有效方法，一般按集合中元素个数的多少来划分，遵循由少到多的原则，做到不重不漏． 2．若集合A中有n个元素，则集合A有2n个子集，(2n－1)个真子集，(2n－1)个非空子集，(2n－2)个非空真子集，该结论可解题时直接使用． 1．若集合{1，2，3}A⊆{1，2，3，4，5}，则满足条件的集合A的个数为(　　) A．2　　　 B．3　　　　 C．4　　　 D．5 解析：集合{1，2，3}是集合A的真子集，同时集合A又是集合{1，2，3，4，5}的子集，所以集合A只能取集合{1，2，3，4}，{1