第三章 函数 章末整合提升3-【高考领航】2023-2024学年高中数学必修第一册同步核心辅导与测评（人教B版）

章末整合提升 本章学习了函数的概念和表示方法，函数的基本性质，函数与方程、不等式之间的关系，函数的实际应用等．依据各知识之间的联系，完成如下的知识结构图． 类型1　函数的概念与性质 1．若两个函数的定义域和对应关系相同时，则两个函数表示同一函数；函数有三种表示方法：解析法、图像法、列表法． 2．所谓分段函数是指在定义域的不同子区间上的对应关系不同的函数．分段函数是一个函数而非几个函数，其定义域是各子区间的并集，值域是各段上值域的并集． 3．单调性是函数的重要性质．对于某些数学问题，通过函数的单调性可将函数值间的关系转化为自变量间的关系进行研究，体现了转化的数学思想．特别是在比较大小、证明不等式、求值或求最值，解方程(组)等方面，函数单调性的应用十分广泛． 4．奇偶性是函数的又一重要性质，利用奇、偶函数的对称性，可缩小问题研究的范围，常能使求解的问题避免复杂的讨论． 角度1　分段函数及其应用 　(教材共享·北师好题)国内某快递公司邮寄普通货物限重30 kg，从A城市到B城市的快递资费标准是：质量1 kg及以下收费12元，以后质量每增加1 kg收费增加8元，质量不足1 kg按1 kg计算．请写出邮件的质量m kg与邮资M元的函数解析式，并画出局部图像． 【尝试解答】　依题意知邮件的质量m kg与邮资M元的函数解析式为 M＝ 该函数的局部图像如图． 解决分段函数求值问题的方法 (1)求分段函数的函数值时，应根据所给自变量的大小选择相应段的解析式求解，有时每段交替使用求值． (2)若给出函数值或函数值的范围求自变量值或自变量的取值范围，应根据每一段的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量值是否符合相应段的自变量的取值范围，做到分段函数分段解决． 角度2　函数性质及其应用 　已知f(x)是定义在[－1，1]上的奇函数，且f(1)＝1，若a，b∈[－1，1]，a＋b≠0时，有>0恒成立． (1)判断f(x)在[－1，1]上的单调性，并证明； (2)若f(x)≤m2－2nm＋1对所有的n∈[－1，1]恒成立，求实数m的取值范围． 【尝试解答】　(1)f(x)在[－1，1]上单调递增，证明如下： 任取x1，x2∈[－1，1]，且x1<x2，则－x2∈[－1，1]． 因为f(x)是奇函数，所以f(x1)－f(x2)＝f(x1)＋f(－x2)＝·(x1－x2)． 由已知得>0，x1－x2<0， 所以f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)． 所以f(x)在[－1，1]上单调递增． (2)因为f(1)＝1，且f(x)在[－1，1]上单调递增，所以在[－1，1]上，f(x)≤1. 问题转化为m2－2nm＋1≥1对所有的n∈[－1，1]恒成立，即m2－2nm≥0对所有的n∈[－1，1]恒成立． 设g(n)＝－2mn＋m2，则 ①若m＝0，则g(n)＝0≥0对所有的n∈[－1，1]恒成立； ②若m≠0，则g(n)为关于n的一次函数，若g(n)≥0对所有的n∈[－1，1]恒成立，则必须 解得m≤－2或m≥2. 综上所述，实数m的取值范围为{m|m≤－2或m≥2或m＝0}． 1．函数的单调性是高考考查的重点，单调性在判断函数的变化方向、区间的最值等问题上有着广泛的应用．与抽象函数有关的单调性问题，常常结合单调性的定义解答．具体函数的单调性问题，常结合图像求函数的单调区间、最值等．应熟练掌握二次函数、反比例函数等一些常见函数的单调性． 2．函数的奇偶性反映了函数图像的对称性，高考考查的重点有：用定义法判断函数的奇偶性，奇偶性的应用，特别是在画函数图像、求解析式、解不等式等方面的应用． 1．设集合A＝，B＝，函数f(x)＝若x0∈A，且f(f(x0))∈A，则x0的取值范围是(　　) A． B． C． D． 解析：∵x0∈A，∴f(x0)＝x0＋∈B， ∴f(f(x0))＝f＝2＝1－2x0∈A，∴0≤1－2x0<，即<x0≤.又x0∈A，∴<x0<.故选C 答案：C 2．函数y＝f(x)(x≠0)是奇函数，且在(0，＋∞)上单调递增，若f(1)＝0，则f(－1)＝________，不等式f<0的解集为________(写成区间形式)． 解析：∵f(x)是奇函数，且f(1)＝0，f(x)在(0，＋∞)上单调递增，∴f(－1)＝－f(1)＝0. 易知f(x)在(－∞，0)上单调递增， ∴不等式f<0可化为 或 即0<x－<1或x－<－1， 解得<x<或x<－. 所以原不等式的解集是∪. 答案：0　∪ 类型2　函数的图像及其应用 函数图像是变量间的直观反映，能较形象地分析出变量间的变化规律，更是研究函数性质(最值、单调性)的有力工具，尤其是在新课标“多考一点想，少考一点算”的指导下，函数图像将成为考查学生理性思维的一个切入口． 　(1)设abc＞