第二章 等式与不等式 章末整合提升2-【高考领航】2023-2024学年高中数学必修第一册同步核心辅导与测评（人教B版）

章末整合提升 本章学习了描述数量关系的等式和不等式的有关内容．依照知识之间的联系，完成如下的知识结构图． 类型1　不等式的性质及其应用 易出错的不等式的性质 (1)同向不等式可以相加；异向不等式可以相减；但异向不等式不可以相加，同向不等式不可以相减． 若a＞b，c＞d，则a＋c＞b＋d， 若a＞b，c＜d，则a－c＞b－d. (2)左右同正不等式：同向的不等式可以相乘，但不能相除；异向不等式可以相除，但不能相乘． 若a＞b＞0，c＞d＞0，则ac＞bd，或a＞b＞0，0＜c＜d，则＞. (3)左右同正不等式：两边可以同时乘方或开方． 若a＞b＞0，则an＞bn或＞. (4)若ab＞0，a＞b，则＜， 若ab＜0，a＞b，则＞. 　(1)(多选题)如果a，b，c满足c＜b＜a且ac＜0，则以下选项中一定成立的是(　　) A．ab＞ac　　　　　　　　 B．c(b－a)＞0 C．cb2＜ab2 D．ac(a－c)＜0 (2)已知a＞0，b＞0，且a≠b，比较＋与a＋b的大小． 【尝试解答】　(1)c＜b＜a，ac＜0⇒a＞0，c＜0. 对于A：⇒ab＞ac，A正确． 对于B：⇒c·(b－a)＞0，B正确． 对于C：⇒cb2≤ab2 cb2＜ab2，C错误． 即C不一定成立． 对于D：ac＜0，a－c＞0⇒ac(a－c)＜0，D正确，选ABD． 【答案】　ABD (2)因为－(a＋b) ＝－b＋－a＝＋ ＝(a2－b2) ＝(a2－b2)＝， 因为a＞0，b＞0，且a≠b， 所以(a－b)2＞0，a＋b＞0，ab＞0， 所以－(a＋b)＞0，即＋＞a＋b. 不等式比较大小的常用方法 (1)作差比较法：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果． (2)作商比较法：常用于分数指数幂的代数式． (3)乘方转化的方法：常用于根式比较大小． 1．(多选题)已知<<0，给出下列四个结论： ①a<b；②a＋b<ab；③|a|>|b|；④ab<b2，其中正确结论的序号是(　　) A．①　　 B．②　　　 C．③　　 D．④ 解析：因为<<0，所以b<a<0.①错误；②因为b<a<0，所以a＋b<0，ab>0，所以a＋b<ab，②正确；③因为b<a<0，所以|a|>|b|不成立；④ab－b2＝b(a－b)，因为b<a<0，所以a－b>0，即ab－b2＝b(a－b)<0，所以ab<b2成立．所以正确的是②④.故选BD． 答案：BD 2．(多选题)对于a>0，b>0，下列不等式中正确的是(　　) A．<＋ B．ab≤ C．ab≤ D．≤ 解析：当a>0，b>0时，因为≤， 所以≤＋，当且仅当a＝b时等号成立， 故A不正确；显然B、C、D均正确．故选BCD． 答案：BCD 类型2　一元二次方程及其根与系数的关系 1．关于x的方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，x∈R的解集 (1)当Δ＝b2－4ac＜0时，方程的解集为∅； (2)当Δ＝b2－4ac＝0时，方程的解集为； (3)当Δ＝b2－4ac＞0时，方程的解集为{，}． 2．设x1，x2是关于x的方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两实根． 则x1＋x2＝－，x1x2＝. 提醒：利用韦达定理解题的前提是方程的两实根存在，即Δ≥0. 　已知关于x的一元二次方程(x－3)(x－2)＝p(p＋1)． (1)试证明：无论p取何值，此方程总有两个实数根； (2)若原方程的两根x1，x2，满足x＋x－x1x2＝3p2＋1，求p的值． 【尝试解答】　方程(x－3)(x－2)＝p(p＋1)可化为x2－5x＋6－p2－p＝0. (1)证明：因为Δ＝b2－4ac＝25－4(6－p2－p)＝25－24＋4p2＋4p＝4p2＋4p＋1＝(2p＋1)2≥0， 故方程总有两个实数根． (2)由韦达定理，得x1＋x2＝5，x1x2＝6－p2－p， 由x＋x－x1x2＝3p2＋1得 (x1＋x2)2－3x1x2＝1＋3p2， 即25－18＋3p2＋3p＝1＋3p2， 解得p＝－2. 一元二次方程根与系数的关系的运用 (1)已知一元二次方程的一根，求另一根； (2)不解方程，求关于一元二次方程的根x1，x2的代数式的值，如： ①x＋x＝(x1＋x2)2－2x1x2； ②＋＝； ③|x1－x2|＝. 提醒：若二次项系数中含有字母时，要注意讨论． 3．已知关于x的一元二次方程mx2－(m＋2)x＋＝0有两个不相等的实数根x1，x2.若＋＝4m，则m的值是(　　) A．2 B．－1 C．2或－1 D．不存在 解析：∵关于x的一元二次方程mx2－(m＋2)x＋＝0有两个不相等的实数根x1、x2， ∴ 解得m>－1且m≠0. ∵x1、x2是方程mx2－(m＋2)x＋＝0的两个实数根，∴x1＋x2＝，x1x2＝， ∵＋＝4