3.4 数学建模活动：决定苹果的最佳出售时间点-【高考领航】2023-2024学年高中数学必修第一册同步核心辅导与测评（人教B版）

3．4　数学建模活动：决定苹果的最佳出售时间点 [素养目标]　1.通过实例了解数学建模的完整过程，培养数学建模素养．　2.通过数学建模活动，学会用数学语言表达现实世界，提升应用能力，增强创新意识和科学精神． 数学建模的一般步骤 1．发现问题、提出问题； 2．分析问题、建立模型； 3．确定参数、计算求解； 4．验证结果、改进模型. [建模示例] 1．提出问题： 中国进入新时代，经商环境大大改善，某个体经营者看好两种商品的销售能赚大钱．请你帮他制定一个投资方案． 2．建立模型 (1)收集数据 销售A、B这两种商品每月投资和所获纯利润的数据： 投资A种商品金额(万元) 1 2 3 4 5 6 获纯利润(万元) 0.65 1.39 1.85 2 1.84 1.40 投资B种商品金额(万元) 1 2 3 4 5 6 获纯利润(万元) 0.25 0.49 0.76 1 1.26 1.51 (2)建立模型：该经营者准备投入12万元经营这两种商品，但不知投入A，B两种商品各多少万元才合算．请你帮助制定一个资金投入方案，使得该经营者能获得最大利润，并按你的方案求出该经营者下月可获得的最大纯利润(结果保留两位有效数字)． 以投资额为横坐标，纯利润为纵坐标，在平面直角坐标系中画出散点图，如图所示． 观察散点图可以看出，A种商品所获纯利润y万元与投资额x万元之间的变化规律可以用二次函数模型进行模拟，如图①所示． 3．求解模型：取(4，2)为最高点，则y＝a(x－4)2＋2，再把点(1，0.65)代入，得0.65＝a(1－4)2＋2，解得a＝－0.15，所以y＝－0.15(x－4)2＋2. B种商品所获纯利润y万元与投资额x万元之间的变化规律是线性的，可以用一次函数模型进行模拟， 如图②所示． 设y＝kx＋b, 取点(1，0.25)和(4，1)，代入得 解得所以y＝0.25x. 投资A种商品纯利润y关于月投资金额x的函数关系式是y＝－0.15(x－4)2＋2；投资B种商品所获纯利润y关于月投资金额x的函数关系式是y＝0.25x.设下月投入A，B两种商品的资金分别为xA，xB(万元)，总利润为W(万元)，那么 所以W＝－0.15＋0.15×＋2.6 当xA＝≈3.2(万元)时，W取最大值，约为4.1万元，此时xB≈8.8(万元)． 即该经营者下月把12万元中的3.2万元投资A种商品，8.8万元投资B种商品，可获得最大利润约为4.1万元． 4．检查结果：该经营者试销两个月，或用原来数据检验是符合预期目标的． 数学建模的三个原则 (1)简化原则：建立模型，要对原型进行一定的简化，抓主要因素、主变量，尽量建立较低阶、较简便的模型． (2)可推演原则：建立的模型一定要有意义，既能对其进行理论分析，又能计算和推理，且能推演出正确结果． (3)反映性原则：建立的模型必须真实地反映原型的特征和关系，即应与原型具有“相似性”，所得模型的解应具有说明现实问题的功能，能回到具体研究对象中去解决问题． [建模活动] 1．提出问题：某桶装水经营部发现销售单价定高了，每天的销售量就少；单价定低了，每天的销售量就多． 这个经营部怎样定价才能获得最大利润． 2．建立模型 ①建模的重要环节—假设 经营的桶装水是合格的，并且每天经营的桶装水为同一品种且单价相同． ②建模涉及的数据—收集 某桶装水经营部每天的房租、人员工资等固定成本为200元，每桶水的进价是5元．销售单价与日均销售量的关系如表所示． 销售单价/元 6 7 8 9 10 11 12 日均销售量/桶 480 440 400 360 320 280 240 ③建模的重要形式—数学模型 以销售单价为横坐标，以日均销售量为纵坐标，在平面直角坐标系中画出散点图(略)，观察散点图，可以看出基本在一条直线上．因此日销售量与销售单价的关系可用一次函数模型进行模拟． 3．求解模型 根据数据画散点图可知，销售单价每增加1元，日均销售量就减少40桶．设在进价基础上增加x元后，日均销售利润为y元，而在此情况下的日均销售量就为480－40(x－1)＝520－40x(桶)，由于x＞0且520－40x＞0. 即0＜x＜13. 于是y＝(520－40x)x－200＝－40x2＋520x－200＝－40(x－6.5)2＋1490，(0＜x＜13)． ∴当x＝6.5时，y有最大值． 所以只需将销售定价定为11.5元，就可获得最大利润． 4．检查结果：该经营者可试销一周，检验是符合预期目标的． [建模实践活动] 经济生活中，商品的需求量与供给量都与商品的价格有关．一般来说，商品的价格越低，想购买这种商品的人就越多，因此需求量越大，但此时因为销售