第二章 圆锥曲线-【高考领航】2023-2024学年高中数学选择性必修第一册同步核心辅导与测评课时作业（北师大版）

[基础巩固] 1．方程＋＝1表示椭圆的必要不充分条件是(　　) A．m∈(－1，2) B．m∈(－4，2) C．m∈(－4，－1)∪(－1，2) D．m∈(－1，＋∞) 解析：方程＋＝1表示椭 圆的充要条件是 即m∈(－4，－1)∪(－1，2)，因为(－4，－1)∪(－1，2)⊂(－4，2)，所以m∈(－4，2)是方程＋＝6表示椭圆的必要不充分条件． 答案：B 2．若动点M(x，y)满足方程 ＋ ＝10，则动点M的轨迹方程为(　　) A．＋＝1　　　 B．＋＝1 C．＋＝1 D．＋＝1 解析：方程 ＋ ＝10表示动点M(x，y)到两个定点(±2，0)的距离之和为定值10＝2a， 且10＞2＋2，由椭圆的定义可得：动点M的轨迹是椭圆，且b2＝a2－c2＝52－22＝21. 可得椭圆的方程为：＋＝1. 答案：B 3．(2022·宁夏银川一中期中)设F1，F2是椭圆＋＝1的两个焦点，P是椭圆上的点，且|PF1|∶|PF2|＝2∶1，则△F1PF2的面积等于(　　) A．5 B．4 C．3 D．1 解析：由椭圆方程，得a＝3，b＝2，c＝. ∵|PF1|＋|PF2|＝2a＝6且|PF1|∶|PF2|＝2∶1， ∴|PF1|＝4，|PF2|＝2， 又|F1F2|＝2，∴|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2， ∴△F1PF2是直角三角形，故△F1PF2的面积为·|PF1|·|PF2|＝×4×2＝4. 答案：B 4．(2022·湖北仙桃中学、天门中学月考)若椭圆＋y2＝1上一点A到焦点F1的距离为2，B为AF1的中点，O是坐标原点，则|OB|＝(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 解析：由椭圆方程＋y2＝1，得a＝3. 设椭圆的另一个焦点为F2，连接AF2(图略)． ∵A到焦点F1的距离为2，∴|AF2|＝6－2＝4， ∵O是F1F2的中点，B是AF1的中点， ∴OB是△AF1F2的中位线， ∴|OB|＝＝2.故选B． 答案：B 5．若将一个椭圆绕其中心旋转90°，所得椭圆的两顶点恰好是旋转前椭圆的两焦点，这样的椭圆称为“对偶椭圆”．下列椭圆中是“对偶椭圆”的是(　　) A．椭圆＋＝1 B．椭圆＋＝1 C．椭圆＋＝1 D．椭圆＋＝1 解析：由题意，当b＝c时，椭圆为“对偶椭圆”．只有A选项中b＝c＝2.故选A． 答案：A 6．已知椭圆中心在坐标原点，焦点在x轴上，椭圆与x轴的一个交点到两焦点的距离分别为3和1，则椭圆的标准方程为________；其焦点坐标为________． 解析：由题意知，解得则b2＝a2－c2＝3， 故椭圆的标准方程为＋＝1，焦点坐标为(±1，0)． 答案：＋＝1　(±1，0) 7．点P在焦点为F1(－4，0)和F2(4，0)的椭圆上，若△PF1F2面积的最大值为16，则椭圆标准方程为________． 解析：由题意，2c＝8，即c＝4， ∵△PF1F2面积的最大值为16，∴×2c×b＝16， 即4b＝16，b＝4， ∴a2＝b2＋c2＝16＋16＝32. 则椭圆的标准方程为＋＝1. 答案：＋＝1 8．求适合下列条件的椭圆的标准方程． (1)已知某椭圆的左右焦点分别为F1(－1，0)，F2(1，0)，且经过点P(，)； (2)椭圆经过点A(2，－)，B(－，－)． 解：(1)设椭圆方程：＋＝1(a＞b＞0)， 则2a＝|PF1|＋|PF2|＝2 ， ∴a＝ . ∵b2＝a2－c2＝1， ∴椭圆方程：＋y2＝1. (2)设所求的椭圆方程为：＋＝1(m＞0，n＞0，m≠n)， 代入已知两点可得：，解得m＝8，n＝1， 故所求的椭圆方程为：＋y2＝1. 9．设F1，F2为椭圆＋＝1的左右两个焦点，点P为椭圆上一点，已知F1，F2，P为一个直角三角形的三个顶点，且|PF1|＞|PF2|，求的值． 解：由已知|PF1|＋|PF2|＝6，|F1F2|＝2，根据直角的位置不同，分为两种情况． (1)若∠PF2F1为直角， 则 ∴∴＝. (2)若∠F1PF2为直角，则|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2， ∴解得|PF1|＝4，|PF2|＝2， ∴＝2. 综上，的值为或2. [能力提升] 10．若α∈，方程x2sin α＋y2cos α＝1表示焦点在y轴上的椭圆，则α的取值范围是(　　) A． B． C． D． 解析：易知sin α≠0，cos α≠0，方程x2sin α＋y2cos α＝1可化为＋＝1.因为椭圆的焦点在y轴上，所以＞＞0，即sin α＞cos α＞0.又α∈，所以＜α＜. 答案：A 11．(多选题)点P为椭圆＋＝1上一点，以点P以及焦点F1，F2为顶点的三角形的面积为1，则点P的坐标为(　　) A．(，1) B．(，－1) C．(－，1) D．(－，－1) 解析：c＝1，设点