第三章 空间向量与立体几何-【高考领航】2023-2024学年高中数学选择性必修第一册同步核心辅导与测评课时作业（北师大版）

[基础巩固] 1．已知z轴上一点N到点A(1，0，3)与点B(－1，1，－2)的距离相等，则点N的坐标为(　　) A．　　　　　 B． C． D． 解析：设N(0，0，z)，由点N到点A(1，0，3)和到点B(－1，1，－2)的距离相等， 得(0－1)2＋02＋(z－3)2＝(－1－0)2＋(1－0)2＋(－2－z)2，解得z＝，故N，故选D． 答案：D 2．(多选题)已知空间中点A(x，1，2)和点B(2，3，4)，且|AB|＝2，则实数x的值是(　　) A．6 B．－6 C．－2 D．4 解析：已知点A(x，1，2)和点B(2，3，4)，且|AB|＝2， ∴＝2， 化简得(x－2)2＝16，解得x＝6或x＝－2. ∴实数x的值是6或－2.故选AC． 答案：AC 3．在空间直角坐标系O-xyz中，O为坐标原点，若点P(1，－2，3)在平面xOz上的射影为点B，则线段OB的长度为(　　) A． B． C． D． 解析：由题意得点P(1，－2，3)在平面xOz上的射影为B(1，0，3)，则|OB|＝＝.故选B． 答案：B 4．在给定空间直角坐标系中，x轴上到点P(4，1，2)的距离为的点有(　　) A．2个 B．1个 C．0个 D．无数个 解析：设点A的坐标是(x，0，0)， 由题意得|PA|＝＝， ∴(x－4)2＝25.解得x＝9或x＝－1. ∴点A的坐标为(9，0，0)或(－1，0，0)． ∴在给定空间直角坐标系中，x轴上到点P(4，1，2)的距离为的点有2个．故选A． 答案：A 5．在空间直角坐标系O-xyz中，一个四面体的顶点坐标分别是(0，0，2)，(2，2，0)，(1，2，1)，(2，2，2)，则该四面体的体积为(　　) A．2 B． C． D． 解析：如图，设四面体ABCD的顶点坐标分别是A(0，0，2)，B(2，2，0)，C(1，2，1)，D(2，2，2)， 则该四面体的体积V＝S△BDC·h＝××2×1×2＝.故选D． 答案：D 6．点M(4，－3，5)到x轴的距离为m，到xOy坐标平面的距离为n，则m2＋n＝________． 解析：∵M(4，－3，5)到x轴的距离为m，到xOy坐标平面的距离为n，∴m2＝(－3)2＋52＝34，n＝5，∴m2＋n＝39. 答案：39 7．与点A(－1，2，3)，B(0，0，5)的距离相等的点(x，y，z)的坐标满足的条件为________． 解析：由题意可得 ＝ ，即2x－4y＋4z－11＝0. 答案：2x－4y＋4z－11＝0 8．如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，|AB|＝|AD|＝3，|AA1|＝2.点M在线段A1C1上，且|MC1|＝2|A1M|，N在线段D1C上，且N为D1C的中点，求M，N两点间的距离． 解：如图，分别以AB，AD，AA1所在的直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系． 由题意可知C(3，3，0)，D(0，3，0)， 因为|DD1|＝|CC1|＝|AA1|＝2， 所以C1(3，3，2)，D1(0，3，2)． 因为N为线段D1C的中点，所以N. 因为|MC1|＝2|A1M|，所以M(1，1，2)． 由两点间的距离公式，得 |MN|＝＝. 9．如图所示，PA，AB，AD两两互相垂直，四边形ABCD为矩形，M，N分别为AB，PC的中点．求证：MN⊥AB． 证明：如图所示，以A为坐标原点，分别为AB，AD，AP所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则A(0，0，0)，设B(a，0，0)，D(0，b，0)，C(a，b，0)，P(0，0，c)，连接AN.因为M，N分别是AB，PC的中点，所以M，N. 则|AM|2＝，|MN|2＝，|AN|2＝， 所以|AN|2＝|MN|2＋|AM|2，所以MN⊥AB． [能力提升] 10．设A(3，3，1)，B(1，0，5)，C(0，1，0)，则线段AB的中点M到点C的距离|CM|＝(　　) A． B． C． D． 解析：由题意知线段AB的中点M的坐标为，又C(0，1，0)，所以|CM|＝＝. 答案：C 11．在空间直角坐标系中，已知点A(1，－2，11)，B(4，2，3)，C(6，－1，4)，则△ABC一定是(　　) A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 解析：∵A(1，－2，11)，B(4，2，3)，C(6，－1，4)， ∴|AB|＝ ＝， |AC|＝ ＝， |BC|＝ ＝， ∵|AC|2＋|BC|2＝|AB|2， ∴△ABC一定为直角三角形． 答案：C 12．已知空间直角坐标系O-xyz中有一点A(－1，－1，2)，点B是xOy平面内的直线x＋y＝1上的动点，则A，B两点间的最短距离为(　　) A． B． C．3 D． 解析：因为点B是x