第一章 1.2 直线的倾斜角、斜率及其关系-【高考领航】2023-2024学年高中数学选择性必修第一册同步核心辅导与测评（北师大版）

§1　直线与直线的方程 1．1　一次函数的图象与直线的方程 1．2　直线的倾斜角、斜率及其关系 [素养目标]　1.理解直线的倾斜角和斜率的概念，经历用代数方法刻画直线斜率的过程，掌握过两点的直线斜率的计算公式．　2.培养学生研究几何问题的代数方法及数学运算的学科素养． 探究点一　直线的倾斜角 [基础梳理] 1．在平面直角坐标系中，确定直线位置的几何条件是：不仅知道直线上的一个点，还要知道这条直线的方向． 2．直线的倾斜角 定 义 在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线l，把x轴(正方向)按逆时针方向绕着交点旋转到和直线l首次重合时所成的角． 规定：当直线l和x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°. 范围 倾斜角α的取值范围为[0，π). [互动探究] [例1]　(1)(多选题)设直线l过原点，其倾斜角为α，将直线l绕坐标原点沿逆时针方向旋转45°，得到直线l1，则直线l1的倾斜角为(　　) A．α＋45°　　　　　　 B．α－135° C．135°－α D．45°－α 【解析】　选AB．由倾斜角的取值范围知，只有当0°≤α＋45°＜180°(0°≤α＜180°)，即0°≤α＜135°时，l1的倾斜角才是α＋45°.而0°≤α＜180°，所以当135°≤α＜180°时，l1的倾斜角为α－135°(如图)． (2)已知直线l过原点，l绕原点按顺时针方向转动α角(0°＜α＜180°)后，恰好与y轴重合，求直线l转动前的倾斜角是多少？ 【解】　由题意画出如下草图： 由图可知： 当α为锐角时，倾斜角为α＋90°； 当α为钝角时，倾斜角为α－90°； 当α为直角时，倾斜角为0°. 综上，直线l转动前的倾斜角为 求直线的倾斜角的方法及两点注意 (1)方法：结合图形，利用特殊三角形(如直角三角形)求角． (2)两点注意：①当直线与x轴平行或重合时，倾斜角为0°，当直线与x轴垂直时，倾斜角为90°. ②注意直线倾斜角的取值范围是0°≤α＜180°. [跟踪训练] 1．已知直线l向上方向与y轴正方向所成的角为30°，则直线l的倾斜角为________． 解析：有如下两种情况： (1)如图①，直线l向上方向与x轴正向所成的角为60°，即直线l的倾斜角为60°. (2)如图②，直线l向上方向与x轴正向所成的角为120°，即直线l的倾斜角为120°. 答案：60°或120° 探究点二　直线的斜率 [基础梳理] 经过两点的直线的斜率公式 经过两个点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，x1≠x2的直线的斜率：k＝(其中x1≠x2)． [互动探究] [例2]　(1)已知过点A(3，1)，B(m，－2)的直线的斜率为1，则m的值为________． 【解析】　由斜率公式得＝1，∴m＝0. 【答案】　0 (2)已知A(3，3)，B(－4，2)，C(0，－2)． ①求直线AB和AC的斜率； ②若点D在线段BC上(包括端点)移动时，求直线AD的斜率的变化范围． 【解】　①由斜率公式可得直线AB的斜率 kAB＝＝. 直线AC的斜率kAC＝＝. 故直线AB的斜率为，直线AC的斜率为. ②如图所示． 当点D由B运动到C时，直线AD的斜率由kAB增大到kAC，所以直线AD的斜率的变化范围是. 1．已知直线上经过的两点时，可利用两点连线的斜率公式k＝，要注意前提条件x1≠x2.若x1＝x2，则斜率不存在．当两点的横坐标含有字母时，要先讨论横坐标是否相等再确定直线的斜率． 2．涉及直线与线段有交点问题常数形结合，利用公式求解． [跟踪训练] 2．设A(m，－m＋3)，B(2，m－1)，C(－1，4)，直线AC的斜率等于直线BC的斜率的3倍，求实数m的值． 解：依题意知直线AC的斜率存在，则m≠－1， 由kAC＝3kBC得 ＝3×， ∴m＝4. 探究点三　直线的斜率与倾斜角、方向向量的关系 [基础梳理] 1．直线的斜率与倾斜角的关系 (1)记法：k＝tan α. (2)特例：倾斜角是的直线没有斜率． (3)对应关系： 图示 倾斜角α (范围) α＝0 0＜α＜ α＝ ＜α＜π 斜率k (范围) k＝0 k＞0 不存在 k＜0 k的 变化 定值 倾斜角越大，直线的斜率k就越大 直线l与x轴垂直 倾斜角越大，直线的斜率就越大 2.直线的斜率与方向向量的关系 若k是直线l的斜率，则v＝(1，k)是它的一个方向向量；若直线l的一个方向向量的坐标为(x，y)，其中x≠0，则k＝． [互动探究] [例3]　(1)若直线l的方向向量为a＝(1，)，则直线l的斜率为(　　) A．　　　　　　　 B． C． D． 【解析】　选D．∵直线l的方向向量为a＝(1，)， ∴直线l的斜率k＝＝. (2)(2023·天津新