第五章 计数原理 章末小结-【高考领航】2023-2024学年高中数学选择性必修第一册同步核心辅导与测评（北师大版）

章末小结 专题一　计数原理 角度1　计数原理的综合应用 [例1]　(1)某人从甲地去丁地．从甲到乙的路线条数比乙到丁的路线条数少1条，甲到丙的路线有4条，丙到丁的路线条数与甲到乙的相同．若从甲地到丁地共有14条路线可走，则该人选择从甲到丙再到丁的走法共有多少种．(　　) A．4　　 B．6　　 C．8　　 D．12 【解析】　选C．设甲到乙有x条路线，则乙到丁有x＋1条路线，丙到丁有x条路线． 由题意得x(x＋1)＋4x＝14.即x2＋5x－14＝0， 解得x1＝2，x2＝－7(舍去)． 即从丙到丁有2条路线，则选择甲到丙再到丁的走法共有4×2＝8种． (2)红、黄、蓝旗各3面，每次升一面、二面或三面在旗杆上纵向排列表示不同的信号，顺序不同则表示不同的信号，共可以组成的信号有______种． 【解析】　每次升1面旗可组成3种不同的信号，每次升2面旗可组成3×3＝9种不同的信号，每次升3面旗可组成3×3×3＝27种不同的信号．根据分类加法计数原理，共可组成3＋9＋27＝39种不同的信号． 【答案】　39 【反思感悟】　1.使用两个计数原理解决问题的思路 (1)分类加法计数原理的关键是“类”，分类时，首先要根据问题的特点确定一个合适的分类标准，然后在这个标准下进行分类；其次分类时要注意，完成这件事的任何一种方法必须属于某一类，并且分别属于不同类的两种方法是不同的方法． (2)分步乘法计数原理的关键是“步”，分步时首先要根据问题的特点确定一个分步的标准；其次，分步时还要注意满足完成一件事必须连续完成这n个步骤后，这件事才算完成，只有满足了上述条件，才能用分步乘法计数原理． 2．使用两个计数原理解决问题时应注意的问题 (1)对于一些比较复杂的既要运用分类加法计数原理又要运用分步乘法计数原理的问题，我们可以恰当地画出示意图或列出表格，使问题更加直观、清晰． (2)当两个计数原理混合使用时，一般是先分类，在每类方法里再分步． [强化训练] 1．王华同学有课外参考书若干本，其中有5本不同的外语书，4本不同的数学书，3本不同的物理书，他欲带参考书到图书馆阅读． (1)若他从这些参考书中带1本去图书馆，则有多少种不同的带法？ (2)若带外语、数学、物理参考书各1本，则有多少种不同的带法？ (3)若从这些参考书中选2本不同学科的参考书带到图书馆， 则有多少种不同的带法？ 解：(1)完成的事情是带一本书，无论带外语书，还是数学书、物理书，事情都已完成，从而确定为应用分类加法计数原理，结果为5＋4＋3＝12(种)． (2)完成的事件是带3本不同学科的参考书，只有从外语、数学、物理书中各选1本后，才能完成这件事，因此应用分步乘法计数原理，结果为5×4×3＝60(种)． (3)选1本外语书和选1本数学书应用分步乘法计数原理，有5×4＝20种选法；同样，选外语书、物理书各1本，有5×3＝15种选法；选数学书、物理书各1本，有4×3＝12种选法．即有三类情况，应用分类加法计数原理，结果为20＋15＋12＝47(种)． 角度2　排列组合的综合应用 [例2]　(1)5名乒乓球队员中，有2名老队员和3名新队员．现从中选出3名队员排成1，2，3号参加团体比赛，则入选的3名队员中至少有1名老队员且1、2号中至少有1名新队员的排法有________种．(用数字作答) 【解析】　①只有1名老队员的排法有CCA＝36(种)．②有2名老队员的排法有CCCA＝12(种)．所以共有36＋12＝48(种)． 【答案】　48 (2)在高三一班元旦晚会上，有6个演唱节目，4个舞蹈节目． ①当4个舞蹈节目要排在一起时，有多少种不同的节目安排顺序？ ②当要求每2个舞蹈节目之间至少安排1个演唱节目时，有多少种不同的节目安排顺序？ ③若已定好节目单，后来情况有变，需加上诗朗诵和快板2个栏目，但不能改变原来节目的相对顺序，有多少种不同的节目演出顺序？ 【解】　①第一步，先将4个舞蹈节目捆绑起来，看成1个节目，与6个演唱节目一起排，有A＝5040种方法； 第二步，再松绑，给4个节目排序，有A＝24种方法． 根据分步乘法计数原理，一共有5040×24＝120 960(种)． ②第一步，将6个演唱节目排成一列(如图中的“□”)，一共有A＝720种方法． ×□×□×□×□×□×□× 第二步，再将4个舞蹈节目排在一头一尾或两个节目中间(即图中“×”的位置)，这样相当于7个“×”选4个来排，一共有A＝7×6×5×4＝840(种)． 根据分步乘法计数原理，一共有720×840＝604 800(种)． ③若所有节目没有顺序要求，全部排列，则有A种排法，但原来的节目已定好顺序，需要消除，所以节目演出的方式有＝A＝132种排法． 【反思感悟】　解排列、组合应用题应遵循三大原则，掌握基本类型，突出转化思想． (1