第五章 4.2 二项式系数的性质-【高考领航】2023-2024学年高中数学选择性必修第一册同步核心辅导与测评（北师大版）

4．2　二项式系数的性质 [素养目标]　1.理解掌握二项式系数的性质并会简单应用．　2.能运用函数观点分析、处理二项式系数性质．　3.培养数学抽象、逻辑推理、数学运算的素养． 探究点一　与杨辉三角有关的问题 [基础梳理] 杨辉三角的特点 (1)杨辉三角的第n行的第r个数可以表示为C，第n行就是(a＋b)n的展开式的二项式系数． (2)在同一行中每行两端都是1，与这两个1等距离的项的系数相等． (3)杨辉三角的相邻两行，三角形的两个腰都是由数字1组成的，其余的数都等于它肩上的两个数相加，即C＝C＋C. [互动探究] [例1]　在由二项式系数所构成的杨辉三角形中，第________行中从左至右第14与第15个数的比为2∶3. 【解析】　由题可设第n行的第14个与第15个数的比为2∶3，即二项展开式的第14项和第15项的系数比为C∶C＝2∶3，即∶＝2∶3，即＝，解得n＝34. 【答案】　34 解决与杨辉三角有关的问题的一般思路 　　 [跟踪训练] 1．杨辉三角如图所示，杨辉三角中的第5行除去两端数字1以外，均能被5整除，则具有类似性质的行是 (　　) A．第6行　　　　　　　 B．第7行 C．第8行 D．第9行 解析：由题意，第6行为1 6 15 20 15 6 1，第7行为1 7 21 35 35 21 7 1，故第7行除去两端数字1以外，均能被7整除． 答案：B 探究点二　二项式系数性质的应用 [基础梳理] 1．从函数的观点分析二项式系数 对于(a＋b)n的展开式的二项式系数C，C，C，…，C，可以从函数的角度分析它们，C可看成是以r为自变量的函数f(r)，其定义域是{0，1，2，…，n}． 2．二项式系数的性质 (1)对称性 与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等．事实上，这一性质可直接由得到． (2)各二项式系数的和 ①C＋C＋C＋…＋C＝2n； ②C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋…＝2n－1． [互动探究] [例2]　(1)(2023·重庆高二检测)(mx＋)n(n∈N＋)的展开式中，各二项式系数之和为32，各项系数之和为243，则展开式中x3的系数为(　　) A．40　　　　　　　　 B．30 C．20 D．10 【解析】　选D．因为(mx＋)n的展开式中，各二项式系数之和为2n＝32，所以n＝5. 再令x＝1，可得各项系数之和为(m＋1)5＝243＝35，所以m＝2， 则展开式中的通项公式为Tk＋1＝C·25－kx5－，令5－＝3，可得k＝4，故展开式中x3的系数为C·2＝10. (2)已知(2x－1)5＝a0x5＋a1x4＋a2x3＋a3x2＋a4x＋a5. 求下列各式的值： ①a0＋a1＋a2＋…＋a5； ②|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a5|； ③a1＋a3＋a5. 【解】　①令x＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a5＝1. ②令x＝－1，得－35＝－a0＋a1－a2＋a3－a4＋a5. 由(2x－1)5的通项Tr＋1＝C(－1)r·25－r·x5－r知a1，a3，a5为负值， 所以|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a5| ＝a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＝35＝243. ③由a0＋a1＋a2＋…＋a5＝1， －a0＋a1－a2＋…＋a5＝－35， 得2(a1＋a3＋a5)＝1－35， 所以a1＋a3＋a5＝＝－121. 二项展开式中系数和的求法 (1)对形如(ax＋b)n，(ax2＋bx＋c)m(a，b，c∈R，m，n∈N＋)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x＝1即可；对(ax＋by)n(a，b∈R，n∈N＋)的式子求其展开式各项系数之和，只需令x＝y＝1即可． (2)一般地，若f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn， 则f(x)展开式中各项系数之和为f(1)， 奇数项系数之和为a0＋a2＋a4＋…＝， 偶数项系数之和为a1＋a3＋a5＋…＝.　　 [跟踪训练] 2．(1)若(1＋x)(1－2x)8＝a0＋a1x＋…＋a9x9，x∈R，则a1·2＋a2·22＋…＋a9·29的值为(　　) A．29 B．29－1 C．39 D．39－1 解析：令x＝0，则a0＝1，令x＝2，则a0＋2a1＋22a2＋…＋29a9＝39，所以2a1＋22a2＋…＋29a9＝39－1. 答案：D (2)设(＋x)10＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a10x10，则a2＝________，(a0＋a2＋a4＋…＋a10)2－(a1＋a3＋a5＋…＋a9)2的值为________． 解析：利用二项式系数公式：T3＝C()8x2＝720x2，故a2＝720，利用赋值法，令x＝±1有a0＋a1＋…＋a10＝(＋1)10，a0－a1＋a2－…＋a10＝(－1)10， 故(a0＋a2＋a4＋…＋a