第五章 2.2 第二课时 排列的综合应用-【高考领航】2023-2024学年高中数学选择性必修第一册同步核心辅导与测评（北师大版）

第二课时　排列的综合应用 [素养目标]　1.能应用排列知识解决简单的实际问题．　2.掌握几种有限制条件的排列的解法．　3.培养学生数学建模、逻辑推理的学科素养． 探究点一　数字排列问题 [互动探究] [例1]　用1，2，3，4，5，6，7这7个数字组成没有重复数字的四位数． (1)如果组成的四位数必须是偶数，那么这样的四位数有多少个？ (2)如果组成的四位数必须大于6500，那么这样的四位数有多少个？ 【解】　(1)第一步排个位上的数，因为组成的四位数必须是偶数，个位数字只能是2，4，6之一，所以有A种排法；第二步排千、百、十这三个数位上的数字，有A种排法．根据分步乘法计数原理，符合条件的四位数的个数是AA＝3×6×5×4＝360. 故这样的四位数有360个． (2)因为组成的四位数要大于6500，所以千位上的数字只能取7或6.排法可以分两类．第一类：千位上排7，有A种不同的排法；第二类：若千位上排6，则百位上可排7或5，十位和个位可以从余下的数字中取2个来排，共有AA种不同的排法．根据分类加法计数原理，符合条件的四位数的个数是A＋AA＝160. 故这样的四位数有160个． 数字排列问题的解题原则 排列问题的本质是“元素”占“位子”问题，有限制条件的排列问题的限制条件主要表现在某元素不排在某个位子上，或某个位子不排某些元素，解决该类排列问题的方法主要是按“优先”原则，即优先排特殊元素或优先满足特殊位子，若一个位子安排的元素影响到另一个位子的元素个数时，应分类讨论． 提醒：解决数字问题时，应注意题干中的限制条件，恰当地进行分类和分步，尤其注意特殊元素“0”的处理． [跟踪训练] 1．用1，2，3，4，5这五个数字，可以组成比20 000大，并且百位数不是数字3的没有重复数字的五位数，共有(　　) A．96个　　　　　　 B．78个 C．72个 D．64个 解析：根据题意知，要求这个五位数比20 000大，则万位数必须是2，3，4，5这4个数字中的一个，当万位数是3时，符合要求的五位数有A＝24(个)；当万位数是2，4，5时，由于百位数不能是数字3，则符合要求的五位数有3×(A－A)＝54(个)，因此共有54＋24＝78(个)，这样的五位数符合要求．故选B． 答案：B 探究点二　排队、排节目问题 [互动探究] [例2]　(2023·漳州期中测试)某次文艺晚会上共演出8个节目，其中2个唱歌、3个舞蹈、3个曲艺节目，求分别满足下列条件的排节目单的方法种数： (1)一个唱歌节目开头，另一个压台； (2)两个唱歌节目不相邻； (3)两个唱歌节目相邻且3个舞蹈节目不相邻． 【解】　(1)先排歌曲节目有A种排法，再排其他节目有A种排法，所以共有AA＝1440种排法． (2)先排3个舞蹈节目，3个曲艺节目，有A种排法，再从其中7个空(包括两端)中选2个排歌曲节目，有A种插入方法，所以共有AA＝30 240种排法． (3)两个唱歌节目相邻，用捆绑法，3个舞蹈节目不相邻，利用插空法，共有AAA＝2880(种)． 求解相邻与不相邻排列问题的主要方法 捆绑法 相邻问题捆绑处理，即可以把相邻元素看作一个整体与其他元素进行排列，同时注意捆绑元素的内部排列． 插空法 不相邻问题插空处理，即先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素的排列空位中. [跟踪训练] 2．某校为庆祝国庆节，安排了一场文艺演出，其中有3个舞蹈节目和4个小品节目，按下面要求安排节目单，有多少种方法： (1)3个舞蹈节目互不相邻； (2)3个舞蹈节目和4个小品节目彼此相间． 解：(1)先安排4个小品节目，有A种排法，4个小品节目中和两头共5个空，将3个舞蹈节目插入这5个空中，共有A种排法，所以共有AA＝1440种排法． (2)由于舞蹈节目与小品节目彼此相间，故小品只能排在1，3，5，7位，舞蹈排在2，4，6位，安排时可分两步进行．先安排4个小品节目在1，3，5，7位，共A种排法；再安排舞蹈节目在2，4，6位，有A种排法，故共有AA＝144种排法． 探究点三　排列问题的综合应用 [互动探究] 角度1　“在”与“不在”问题 [例3]　从包括甲、乙两名同学在内的7名同学中选出5名同学排成一列，求解下列问题： (1)甲不在首位的排法有多少种？ (2)甲既不在首位，又不在末位的排法有多少种？ (3)甲与乙既不在首位又不在末位的排法有多少种？ (4)甲不在首位，乙不在末位的排法有多少种？ 【解】　(1)法一　把同学作为研究元素． 第一类：不含甲，此时只需从甲以外的其他6名同学中取出5名放在5个位置上，有A种． 第二类：含有甲，甲不在首位：先从4个位置中选出1个放甲，再从甲以外的6名同学中选出4名排在没有甲的位置上，有A种排法．根据分步乘法计数原理，含有甲时共有4×A种