第三章 空间向量与立体几何 阶段测评(一)-【高考领航】2023-2024学年高中数学选择性必修第一册同步核心辅导与测评（北师大版）

阶段测评(一) (时间：120分钟　满分：150分) 一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．圆x2＋y2－2x－8y＋13＝0的圆心到直线x＋ay－1＝0的距离为1，则a＝(　　) A．± B．± C．± D．± 解析：∵圆x2＋y2－2x－8y＋13＝0的标准方程为(x－1)2＋(y－4)2＝4，圆心为(1，4)，∴由圆心到直线x＋ay－1＝0的距离为1可知＝1，解得a＝±. 答案：A 2．在下列条件中，点M与A、B、C一定共面的是(　　) A．＝2－－ B．＝＋＋ C．＋＋＝0 D．＋＋＋＝0 解析：对于A，＋＋＝－＋－＋－＝＋＋－3≠0，所以点M、A、B、C不共面； 对于B，∵＋＋≠1，∴点M、A、B、C不共面； 对于C，由＋＋＝0， 得＝－－，由共面向量定理知，，，为共面向量， ∴点M、A、B、C共面； 对于D，由＋＋＋＝0， 得＝－(＋＋)，系数和不为1， ∴点M、A、B、C不共面．故选C． 答案：C 3．椭圆C1与双曲线C2有相同的左、右焦点分别为F1，F2，椭圆C1的离心率为e1，双曲线C2的离心率为e2，且两曲线在第一象限的公共点P满足|PF1|∶|F1F2|∶|PF2|＝4∶3∶2，则的值为(　　) A．2 B．3 C．4 D．6 解析：因为F1，F2为椭圆C1与双曲线C2的公共焦点，且两曲线在第一象限的公共点P满足|PF1|∶|F1F2|∶|PF2|＝4∶3∶2，所以椭圆C1的离心率e1＝＝＝，双曲线C2的离心率e2＝＝＝，因此＝＝2.故选A． 答案：A 4．如图所示，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，＝a，＝b，＝c，M是A1D1的中点，点N是CA1上的点，且CN∶NA1＝1∶4，用a，b，c表示向量的结果是(　　) A．a＋b＋c B．a＋b＋c C．a－b－c D．a＋b－c 解析：由题意可得，＝－＝－＝(－＋)－＝－c＋－b. ∵＝a＋b，∴＝a＋b－c，故选D． 答案：D 5．过点(3，1)作圆(x－1)2＋y2＝1的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB的方程为(　　) A．2x＋y－3＝0 B．2x－y－3＝0 C．4x－y－3＝0 D．4x＋y－3＝0 解析：设点P(3，1)，圆心C(1，0)．已知切点分别为A，B，则P，A，C，B四点共圆，且PC为圆的直径．故四边形PACB的外接圆圆心坐标为，半径长为 ＝.故此圆的方程为(x－2)2＋＝.① 圆C的方程为(x－1)2＋y2＝1.② ①－②得2x＋y－3＝0，此即为直线AB的方程． 答案：A 6．设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过点(－2，0)且斜率为的直线与C交于M，N两点，则·＝(　　) A．5 B．6 C．7 D．8 解析：由题意知直线MN的方程为y＝(x＋2)，设M(x1，y2)，N(x2，y2)，与抛物线方程联立有，可得或， ∴＝(0，2)，＝(3，4)， ∴·＝0×3＋2×4＝8. 答案：D 7．已知正四棱锥S-ABCD的侧棱长与底面边长都相等，E是SB的中点，则AE与平面SBC所成的角的余弦值为(　　) A． B． C． D． 解析：设AE与平面SBC所成的角为θ，以底面中心O为原点，以射线OA为x轴，以射线OB为y轴，以射线OS为z轴，建立空间直角坐标系(图略)，设底面边长为，则A(1，0，0)，B(0，1，0)，C(－1，0，0)，S(0，0，1)，E，所以＝(－1，－1，0)，＝(0，1，－1)，＝，设平面SBC的法向量为n＝(x，y，z)，则即令x＝1，所以n＝(1，－1，－1)，因为cos＝＝，所以cos θ＝.故选B． 答案：B 8．已知定点A，B满足|AB|＝4，动点P满足|PA|－|PB|＝3，则|PA|的最小值是(　　) A． B． C． D．5 解析：已知定点A，B满足|AB|＝4，动点P满足|PA|－|PB|＝3，则点P的轨迹是以A，B为左、右焦点的双曲线的右支，且a＝，c＝2.所以|PA|的最小值是点A到右顶点的距离，即为a＋c＝2＋＝. 答案：C 二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分) 9．下列说法错误的是(　　) A．“a＝－1”是“直线a2x－y＋1＝0与直线x－ay－2＝0互相垂直”的充要条件 B．直线xsin α＋y＋2＝0的倾斜角θ的取值范围是∪ C．过(x1，y1)，(x2，y2)两点的所有直线的方程为＝ D．经过点(1，1)且在x轴和y轴上截距都相等的直线方程为x＋y－2＝0 解析：当a＝0时，两直线方程分别为y＝1和x＝2，此时也满足直线相互垂直，故A说法错误