第三章 1.2 空间两点间的距离公式-【高考领航】2023-2024学年高中数学选择性必修第一册同步核心辅导与测评（北师大版）

1．2　空间两点间的距离公式 [素养目标]　1.理解空间两点间距离公式的推导过程和方法．　2.掌握空间两点间的距离公式，能够用空间两点间距离公式解决简单的问题．　3.培养学生解决几何问题的能力，数学运算的学科素养． 探究点一　求空间两点间的距离 [基础梳理] 空间两点间的距离公式 (1)空间任意一点P(x0，y0，z0)与原点的距离 |OP|＝． (2)空间两点A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)间的距离 |AB|＝． [互动探究] [例1]　如图所示，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，|C1C|＝|CB|＝|CA|＝2，AC⊥CB，D，E分别是棱AB，B1C1的中点，F是AC的中点，求DE，EF的长度． 【解】　以点C为坐标原点，CA，CB，CC1所在直线为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系． ∵|C1C|＝|CB|＝|CA|＝2， ∴C(0，0，0)，A(2，0，0)，B(0，2，0)，C1(0，0，2)，B1(0，2，2)，由中点坐标公式，可得 D(1，1，0)，E(0，1，2)，F(1，0，0)， ∴|DE|＝＝， |EF|＝ ＝. 求空间两点间的距离的方法 求空间两点间的距离时，一般使用空间两点间的距离公式，应用公式的关键在于建立合适的坐标系，确定两点坐标．确定点的坐标的方法视具体题目而定．一般来说，要转化到平面中求解，有时也利用几何图形的特征，结合平面直角坐标系的知识确定． [跟踪训练] 1．已知在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，D1D＝3，点M是B1C1的中点，点N是AB的中点．以D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系． (1)写出点D，N，M的坐标； (2)求线段MD，MN的长度． 解：(1)D(0，0，0)，N(2，1，0)，M(1，2，3)． (2)|MD|＝＝， |MN|＝＝. 探究点二　求空间点的坐标 [互动探究] [例2]　已知点A(4，5，6)，B(－5，0，10)，在z轴上有一点P，使|PA|＝|PB|，则点P的坐标为________． 【解析】　设P(0，0，z)，由|PA|＝|PB|，得 ＝ 解得z＝6. ∴点P的坐标为(0，0，6)． 【答案】　(0，0，6) 由空间两点间距离求点的坐标的方法 (1)若已知点到定点的距离以及点在特殊位置，则可直接设出该点坐标，利用待定系数法求解点的坐标． (2)若已知一点到两个定点的距离之间的关系，以及其他的一些条件，则可以列出关于点的坐标的方程(组)进行求解．　　 [跟踪训练] 2．已知点A(0，1，0)，B(－1，0，－1)，C(2，1，1)，若点P(x，0，z)满足PA⊥AB，PA⊥AC，试求点P的坐标． 解：∵PA⊥AB， ∴△PAB为直角三角形， ∴|PB|2＝|PA|2＋|AB|2，即 (x＋1)2＋(z＋1)2＝x2＋1＋z2＋1＋1＋1， 即x＋z＝1.① 又∵PA⊥AC， ∴△PAC为直角三角形， ∴|PC|2＝|PA|2＋|AC|2，即 (x－2)2＋1＋(z－1)2＝x2＋1＋z2＋4＋0＋1， 即2x＋z＝0.② 由①②得 ∴点P的坐标为(－1，0，2)． 探究点三　空间两点间距离公式的应用 [互动探究] [例3]　如图所示，正方体棱长为1，以正方体的同一顶点上的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，点P在正方体的体对角线AB上，点Q在正方体的棱CD上．当点P为体对角线AB的中点，点Q在棱CD上运动时，求|PQ|的最小值． 【解】　由题意知，P. ∵Q点在CD上， ∴设Q(0，1，z)，z∈[0，1]， ∴|PQ|＝ ＝， ∴当z＝时，|PQ|min＝. 建立函数模型求最值问题中，设点的坐标时，要注意充分挖掘题目条件，尽可能减少点的坐标中变量的个数．　　 [跟踪训练] 3．在xOy平面内的直线2x－y＝0上确定一点M，使它到点P(－3，4，5)的距离最小，并求出最小值． 解：∵点M在xOy平面内的直线2x－y＝0上， ∴设点M(a，2a，0)， 则|MP|＝ ＝＝， ∴当a＝1时，|MP|取最小值3，此时M(1，2，0)， ∴当点M的坐标为(1，2，0)时，|MP|最小，最小值为3. 1．在空间直角坐标系中，已知M(－1，0，2)，N(3，2，－4)，则线段MN的中点Q到坐标原点O的距离为(　　) A．　　　　　　 B． C．2 D．3 解析：∵M(－1，0，2)，N(3，2，－4)， ∴线段MN的中点Q(1，1，－1)， ∴点Q到坐标原点O的距离|QO|＝＝.故选A． 答案：A 2．在空间直角坐标系Oxyz中，M与N关于平面xOy对称，OM与平面xOy所成的角是60°.若|MN|＝4，则|OM|＝(　　) A．4 B．1 C． D．2 解析：由题意知MN⊥平面