第二章 4.2 直线与圆锥曲线的综合问题-【高考领航】2023-2024学年高中数学选择性必修第一册同步核心辅导与测评（北师大版）

4．2　直线与圆锥曲线的综合问题 [素养目标]　1.会求直线与圆锥曲线相交所得的弦长．　2.能解决与中点弦、定点、定值等相关的综合问题．　3.培养数学运算、逻辑推理的学科素养． 探究点一　弦长及中点问题 [基础梳理] 1．圆锥曲线中的弦长公式 (1)当弦的两端点坐标易求时，可求出两端点坐标，再用两点间距离公式直接求解． (2)若斜率为k的直线与圆锥曲线相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两个不同的点，则弦长|AB|＝ ＝ |x1－x2|＝ 或|AB|＝|y1－y2|＝ (k≠0)． (3)当直线过抛物线的焦点时，可利用抛物线的焦点弦公式求解弦长． 2．圆锥曲线中中点弦问题的解题策略 (1)涉及直线与圆锥曲线相交弦的中点和弦所在直线的斜率问题时，常用“点差法”“设而不求法”，并借助一元二次方程根的判别式、根与系数的关系、中点坐标公式及参数法求解，但在求得直线方程后，一定要代入原方程进行检验． (2)用“点差法”求解弦中点问题的步骤 ― ↓ ― ↓ ― ↓ ― [互动探究] [例1]　已知椭圆＋＝1和点P(4，2)，直线l经过点P且与椭圆交于A、B两点． (1)当直线l的斜率为时，求线段AB的长度； (2)当点P恰好为线段AB的中点时，求l的方程． 【解】　(1)由已知可得直线l的方程为y－2＝(x－4)， 即y＝x，由 消去y可得x2－18＝0， 若设A(x1，y1)，B(x2，y2)． 则x1＋x2＝0，x1x2＝－18. 于是|AB|＝ ＝ ＝ ＝×6＝3. 所以线段AB的长度为3. (2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则有 两式相减得＋＝0， 整理得kAB＝＝－， 由于P(4，2)是AB的中点， ∴x1＋x2＝8，y1＋y2＝4， 于是kAB＝－＝－， 于是直线AB的方程为 y－2＝－(x－4)，即x＋2y－8＝0.经检验满足题意． 研究直线与圆锥曲线相交的关系问题的通法是通过解直线与椭圆构成的方程，利用根与系数的关系或中点坐标解决，涉及弦的中点，还可使用点差法：设出弦的两端点坐标，代入圆锥曲线，两式相减即得弦的中点与斜率的关系．　　 [跟踪训练] 1．设A，B为双曲线x2－＝1上的两点，AB中点为M(1，2)，求 (1)直线AB的方程； (2)△OAB的面积(O为坐标原点)． 解：(1)法一　设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则 两式相减可得(x1＋x2)(x1－x2)＝(y1＋y2)(y1－y2)，因为AB中点为M(1，2)，所以x1＋x2＝2，y1＋y2＝4， 所以2(x1－x2)＝×4(y1－y2)， 所以kAB＝＝1， 所以直线方程为y－2＝x－1，即x－y＋1＝0.经检验满足题意． 法二　依题意，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，设直线AB的方程为y＝k(x－1)＋2， 代入x2－＝1， 整理，得(2－k2)x2－2k(2－k)x－(2－k)2－2＝0，① 则x1，x2是方程①的两个不同的根， 所以2－k2≠0，且x1＋x2＝， 由M(1，2)是AB的中点，得(x1＋x2)＝1， 所以k(2－k)＝2－k2，解得k＝1， 所以直线AB的方程为x－y＋1＝0. (2)由(1)可知直线AB的方程为y＝x＋1，代入x2－＝1， 整理得x2－2x－3＝0， 解得x1＝－1，x2＝3，所以y1＝0，y2＝4， 所以|AB|＝ ＝ ＝4 ，点O到直线AB的距离d＝， 所以S△OAB＝·|AB|·d＝×4 ×＝2. 探究点二　定点、定值问题 [基础梳理] 解析几何中的定值问题的证明可运用函数的思想方法来解决．证明过程可总结为“变量⇒函数⇒定值”，具体操作程序如下： 变量——选择适当的量为变量； 函数——把要证明为定值的量表示成上述变量的函数； 定值——把得到的函数解析式化简，消去变量得到定值． 求定值、定点问题常见的方法有两种： 1．从特殊入手，求出定值或定点，再证明这个值或点的坐标与变量无关． 2．直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值或定点． [互动探究] [例2]　已知抛物线y2＝2px(p＞0)，过O点作两条互相垂直的直线OA、OB交抛物线于A、B，求证：直线AB恒过一定点． 【证明】　法一　显然直线OA的斜率存在且不为零．设直线OA的方程为y＝kx，根据对称性，不妨设k＞0. 因为OA⊥OB，所以直线OB的方程为y＝－x. 由得k2x2－2px＝0， 所以A，同理，B(2pk2，－2pk)． 因此当k≠1时，kAB＝＝. 所以直线AB的方程为y＋2pk＝(x－2pk2)， 即y＝(x－2p)．此直线恒过定点(2p，0)． 又当k＝1时，A(2p，2p)，B(2p，－2p)，直线AB的方程为x＝2p，也过点(2p，0)． 因此直线AB恒过一定点(2p，0)．