第二章 3.2 抛物线的简单几何性质-【高考领航】2023-2024学年高中数学选择性必修第一册同步核心辅导与测评（北师大版）

3．2　抛物线的简单几何性质 [素养目标]　1.探究并掌握抛物线的几何性质．　2.了解抛物线的简单应用．　3.培养学生直观想象、逻辑推理、数学运算的学科素养． 探究点一　由抛物线的几何性质求标准方程 [基础梳理] 抛物线的几何性质 标准 方程 y2＝2px (p＞0) y2＝－2px (p＞0) x2＝2py (p＞0) x2＝－2py (p＞0) p的几何意义：焦点F到准线l的距离 图形 开口方向 向右 向左 向上 向下 焦半径 [其中 P(x0，y0)] |PF|＝ x0＋ |PF|＝ －x0＋ |PF|＝ y0＋ |PF|＝ －y0＋ 范围 x≥0， y∈R x≤0， y∈R x∈R，y≥0 x∈R，y≤0 对称轴 x轴 y轴 顶点 O(0，0) 离心率 e＝1 [互动探究] [例1]　抛物线的顶点在原点，对称轴重合于椭圆9x2＋4y2＝36短轴所在的直线，抛物线焦点到顶点的距离为3，求抛物线的方程及抛物线的准线方程． 【解】　椭圆的方程可化为＋＝1， 其短轴在x轴上， ∴抛物线的对称轴为x轴， ∴设抛物线的方程为y2＝2px或y2＝－2px(p>0)． ∵抛物线的焦点到顶点的距离为3， 即＝3， ∴p＝6. ∴抛物线的标准方程为y2＝12x或y2＝－12x， 其准线方程分别为x＝－3或x＝3. 1．注意抛物线各元素间的关系：抛物线的焦点始终在对称轴上，抛物线的顶点就是抛物线与对称轴的交点，抛物线的准线始终与对称轴垂直，抛物线的准线与对称轴的交点和焦点关于抛物线的顶点对称． 2．解决抛物线问题要始终把定义的应用贯彻其中，通过定义的运用，实现两个距离之间的转化，简化解题过程． [跟踪训练] 1．已知抛物线的顶点在坐标原点，对称轴为x轴，且与圆x2＋y2＝4相交于A，B两点，|AB|＝2，求抛物线方程． 解：由已知，抛物线的焦点可能在x轴正半轴上，也可能在负半轴上． 故可设抛物线方程为y2＝ax(a≠0)． 设抛物线与圆x2＋y2＝4的交点A(x1，y1)，B(x2，y2)． ∵抛物线y2＝ax(a≠0)与圆x2＋y2＝4都关于x轴对称． ∴点A与B关于x轴对称， ∴|y1|＝|y2|且|y1|＋|y2|＝2， ∴|y1|＝|y2|＝，代入圆x2＋y2＝4， 得x2＋3＝4，∴x＝±1， ∴A(±1，)或A(±1，－)， 代入抛物线方程， 得()2＝±a，∴a＝±3. ∴所求抛物线方程是y2＝3x或y2＝－3x. 探究点二　抛物线的焦半径和焦点弦问题 [基础梳理] 抛物线的焦点弦 直线过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F，与抛物线交于A(x1，y1)、B(x2，y2)两点，由抛物线的定义知，|AF|＝x1＋，|BF|＝x2＋，故|AB|＝x1＋x2＋p． [互动探究] [例2]　(1)过抛物线y2＝4x的焦点作直线交抛物线于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，若|AB|＝7，则AB的中点M到抛物线准线的距离为________． 【解析】　抛物线的焦点为F(1，0)，准线方程为x＝－1，由抛物线定义知|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋p，即x1＋x2＋2＝7，得x1＋x2＝5，于是弦AB的中点M的横坐标为，又准线方程为x＝－1，因此点M到抛物线准线的距离为＋1＝. 【答案】　 (2)如图，斜率为的直线l经过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F(1，0)，且与抛物线相交于A、B两点． ①求该抛物线的标准方程和准线方程； ②求线段AB的长． 【解】　①由焦点F(1，0)，得＝1，解得p＝2. 所以抛物线的方程为y2＝4x，其准线方程为x＝－1； ②设A(x1，y1)，B(x2，y2)．直线l的方程为y＝(x－1)． 与抛物线方程联立，得， 消去y，整理得4x2－17x＋4＝0， 由抛物线的定义可知，|AB|＝x1＋x2＋p＝＋2＝. 所以，线段AB的长为. 1．已知AB是过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点的弦，F为抛物线的焦点，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则： (1)y1·y2＝－p2，x1·x2＝； (2)|AB|＝x1＋x2＋p＝(θ为直线AB的倾斜角)； (3)S△ABO＝(θ为直线AB的倾斜角)； (4)＋＝； (5)以AB为直径的圆与抛物线的准线相切． 2．当直线经过抛物线的焦点，且与抛物线的对称轴垂直时，直线被抛物线截得的线段称为抛物线的通径，显然通径长等于2p. [跟踪训练] 2．抛物线的顶点在原点，以x轴为对称轴，经过焦点且倾斜角为135°的直线被抛物线所截得的弦长为8，试求抛物线的方程． 解：如图，依题意可设抛物线方程为y2＝2px(p＞0)，则直线方程为y＝－x＋p. 设直线交抛物线于A(x1，y1)、