第一章 2.4 圆与圆的位置关系-【高考领航】2023-2024学年高中数学选择性必修第一册同步核心辅导与测评（北师大版）

2．4　圆与圆的位置关系 [素养目标]　1.能根据圆的方程判断圆与圆的位置关系．　2.能根据圆与圆的位置关系解决数学问题． 3．能用直线与圆的位置关系解决简单的实际问题．　 4.培养学生数形结合、数学建模、数学运算的学科素养． 探究点一　两圆位置关系的判断 [基础梳理] 圆与圆位置关系的判断 (1)几何法： 圆O1：(x－x1)2＋(y－y1)2＝r(r1＞0)，圆O2：(x－x2)2＋(y－y2)2＝r(r2＞0)， 两圆的圆心距d＝|O1O2|＝ ，则有 位置关系 外离 外切 相交 内切 内含 图示 d与r1， r2的关系 d＞r1＋r2 d＝r1＋r2 |r1－r2|＜ d＜r1＋r2 d＝|r1－r2| d＜|r1－r2| (2)代数法： 圆O1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0(D＋E－4F1＞0)，圆O2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0(D＋E－4F2＞0)，两圆的方程联立得方程组，则有 方程组解的情况 2组 1组 0组 两圆的公共点 2个 1个 0个 两圆的位置关系 相交 外切或内切 外离或内含 [互动探究] [例1]　当实数k为何值时，两圆C1：x2＋y2＋4x－6y＋12＝0，C2：x2＋y2－2x－14y＋k＝0相交、相切、相离． 【解】　将两圆的一般方程化为标准方程， C1：(x＋2)2＋(y－3)2＝1， C2：(x－1)2＋(y－7)2＝50－k. 圆C1的圆心为C1(－2，3)，半径r1＝1； 圆C2的圆心为C2(1，7)，半径r2＝(k＜50)． 从而|C1C2|＝＝5. 当1＋＝5，即k＝34时，两圆外切． 当|－1|＝5，即＝6，k＝14时，两圆内切． 当|r2－r1|＜|C1C2|＜r2＋r1， 即14＜k＜34时，两圆相交． 当1＋＜5或＞5， 即k＜14或34＜k＜50时，两圆相离． 判断两圆的位置关系的两种方法 (1)几何法：将两圆的圆心距d与两圆的半径之差的绝对值，半径之和进行比较，进而判断出两圆的位置关系，这是在解析几何中主要使用的方法． (2)代数法：将两圆的方程组成方程组，通过解方程组，根据方程组解的个数进而判断两圆位置关系．　　 [跟踪训练] 1．圆(x＋3)2＋(y－2)2＝1和圆(x－3)2＋(y＋6)2＝144的位置关系是(　　) A．相切　　　　　　 B．内含 C．相交 D．外离 解析：因为两圆的圆心距d＝＝10＜12－1＝11，所以两圆内含． 答案：B 探究点二　与两圆相切的有关问题 [互动探究] [例2]　求与圆x2＋y2－2x＝0外切且与直线x＋y＝0相切于点M(3，－)的圆的方程． 【解】　设所求圆的方程为 (x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)， 则＝r＋1，① ＝，② ＝r.③ 联立①②③解得a＝4，b＝0，r＝2， ∴圆的方程为(x－4)2＋y2＝4. 处理两圆相切问题的两个步骤 (1)定性，即必须准确把握是内切还是外切，若只是告诉相切，则必须分两圆内切还是外切两种情况讨论． (2)转化，即将两圆相切的问题转化为两圆的圆心距等于两圆半径之差的绝对值(内切时)或两圆半径之和(外切时)的问题．　　 [跟踪训练] 2．与圆O：x2＋y2＝25外切于点P(4，3)，且半径为1的圆的方程是________． 解析：设所求圆的圆心为C(m，n)，则O，P，C三点共线， 且|OC|＝6，所以m＝×6＝，n＝×6＝，所以圆的方程是＋＝1. 答案：＋＝1 探究点三　与两圆相交的有关问题 [互动探究] [例3]　已知圆C满足：圆心在直线x＋y＝0上，且过圆C1：x2＋y2－2x＋10y－24＝0与圆C2：x2＋y2＋2x＋2y－8＝0的交点A，B． (1)求弦AB所在的直线方程和圆C的方程； (2)过点M(－4，1)的直线l被圆C截得的弦长为6，求直线l的方程． 【解】　(1)由题意：圆C1：x2＋y2－2x＋10y－24＝0与圆C2：x2＋y2＋2x＋2y－8＝0的交点A(－4，0)，B(0，2)．两式相减得：4x－8y＋16＝0，即x－2y＋4＝0，所以弦AB所在的直线方程为x－2y＋4＝0.圆心在直线x＋y＝0上，设圆心为(a，－a)，那么它到两交点A，B的距离相等，故有(a＋4)2＋a2＝a2＋(2＋a)2，可得：a＝－3，即圆心为(－3，3)，r2＝10，圆C的方程为(x＋3)2＋(y－3)2＝10. (2)当k存在时，设直线l的方程为y－1＝k(x＋4)，即kx－y＋1＋4k＝0，直线l被圆C截得的弦长为6，即9＝r2－d2，所以d2＝1.即＝1，可得：k＝，所以直线l的方程为3x－4y＋16＝0；当k不存在时，直线l的方程为x＋4＝0.直线l被圆C截得的弦长为6