第一章 2.3 直线与圆的位置关系-【高考领航】2023-2024学年高中数学选择性必修第一册同步核心辅导与测评（北师大版）

2．3　直线与圆的位置关系 [素养目标]　1.能根据方程，判断直线和圆的位置关系，并掌握其方法．　2.能根据直线与圆的位置关系，求直线或圆的方程．　3.培养学生数形结合思想、逻辑推理、数学运算的学科素养． 探究点一　直线与圆的位置关系的判断 [基础梳理] 直线Ax＋By＋C＝0与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系的判断 (1)方法： 位置关系 相交 相切 相离 公共点个数 2个 1个 0个 方 法 几何法：设圆心到直线的距离d＝ d＜r d＝r d＞r 代数法：由 消元得到一元二次方程的判别式Δ Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0 (2)本质：利用直线和圆的方程，通过定量计算研究直线与圆的位置关系． [互动探究] [例1]　已知圆x2＋y2＝8，定点P(4，0)，问过点P的直线的斜率为多少时，这条直线与已知圆：①相切；②相交；③相离． 【解】　法一(代数法)　点P在圆外，设过点P的直线的斜率为k(由已知条件知k存在)，则其方程为y＝k(x－4)． 由消去y，得x2＋k2(x－4)2＝8， 即(1＋k2)x2－8k2x＋16k2－8＝0， 则Δ＝(－8k2)2－4(1＋k2)(16k2－8)＝32(1－k2)． ①令Δ＝0，即32(1－k2)＝0，得k＝±1. ∴当k＝±1时，直线与圆相切． ②令Δ＞0，即32(1－k2)＞0，得－1＜k＜1， ∴当－1＜k＜1时，直线与圆相交． ③令Δ＜0，即32(1－k2)＜0，得k＞1或k＜－1， ∴当k＜－1或k＞1时，直线与圆相离． 法二(几何法)　点P在圆外，设过点P的直线的斜率为k(由已知条件知k存在)，则其方程为y＝k(x－4)．圆心坐标为(0，0)，圆的半径r＝＝2. 设圆心(0，0)到该直线的距离为d， 则d＝＝ . ①令d＝r，即＝2，得k2＝1， 即k＝±1， ∴当k＝±1时，直线与圆相切． ②令d＜r，即＜2，得k2＜1，即－1＜k＜1， ∴当－1＜k＜1时，直线与圆相交． ③令d＞r，即 ＞2，得k2＞1， 即k＜－1或k＞1， ∴当k＜－1或k＞1时，直线与圆相离． 判断直线与圆的位置关系的方法 (1)几何法：由圆心到直线的距离d与半径r的大小关系来判断． (2)代数法：联立直线与圆的方程，消元后得到关于x(或y)的一元二次方程，根据一元二次方程的解的个数(也就是方程组解的个数)来判断． ①如果Δ＜0，那么直线与圆相离；②如果Δ＝0，那么直线与圆相切；③如果Δ＞0，那么直线与圆相交． (3)点与圆的位置关系法：若直线过定点且该定点在圆内，则可判断直线与圆相交． [跟踪训练] 1．直线(a＋1)x＋(a－1)y＋2a＝0(a∈R)与圆x2＋y2－2x＋2y－7＝0的位置关系是(　　) A．相切　　　　　　 B．相交 C．相离 D．不确定 解析：∵(a＋1)x＋(a－1)y＋2a＝0恒过定点(－1，－1)，又(－1)2＋(－1)2－2×(－1)＋2×(－1)－7＜0，∴定点(－1，－1)在圆内，∴直线与圆相交． 答案：B 探究点二　直线与圆相切问题 [互动探究] [例2]　(1)圆x2＋y2＝4在点P(，－1)处的切线方程为(　　) A．x＋y－2＝0　　　 B．x＋y－4＝0 C．x－y－4＝0 D．x－y＋2＝0 【解析】　选C．∵()2＋(－1)2＝4， ∴点P在圆上． ∵切点与圆心连线的斜率为－， ∴切线的斜率为， ∴切线方程为y＋1＝(x－)， 即x－y－4＝0. (2)若直线l过点P(2，3)，且与圆(x－1)2＋(y＋2)2＝1相切，求直线l的方程． 【解】　∵(2－1)2＋(3＋2)2＞1，∴点P在圆外， 法一　①若直线l的斜率存在，设l：y－3＝k(x－2)，即kx－y＋3－2k＝0，因为直线l与圆(x－1)2＋(y＋2)2＝1相切，所以＝1，所以k＝. 所以直线l的方程为y－3＝(x－2)，即12x－5y－9＝0. ②若直线l的斜率不存在，则直线l：x＝2也符合要求． 所以直线l的方程为12x－5y－9＝0或x＝2. 法二　①若直线l的斜率存在， 设l：y－3＝k(x－2)，即y＝k(x－2)＋3， 与圆的方程联立消去y得：(x－1)2＋[k(x－2)＋3＋2]2＝1， 整理得(k2＋1)x2－(4k2－10k＋2)x＋4k2－20k＋25＝0， ∴Δ＝(4k2－10k＋2)2－4(k2＋1)(4k2－20k＋25)＝0， ∴k＝.此时直线l的方程为y－3＝(x－2)，即12x－5y－9＝0. ②若直线l的斜率不存在，则直线l：x＝2也符合要求． 所以直线l的方程为12x－5y－9＝0或x＝2. 1．过圆上一点(x0，y0)的圆的切线方程的求法 先求切点到圆心连线的斜率k，再由垂直关系得切线的斜率为－