第一章 2.2 圆的一般方程-【高考领航】2023-2024学年高中数学选择性必修第一册同步核心辅导与测评（北师大版）

2．2　圆的一般方程 [素养目标]　1.根据圆的几何要素探索并掌握圆的一般方程及特点．　2.理解二元二次方程表示圆的条件．　3.能进行圆的一般方程和标准方程之间的互化．　4.会求圆的一般方程．　5.培养学生逻辑推理、数学运算的学科素养． 探究点一　二元二次方程与圆的关系 [基础梳理] 方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示的图形 方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0变形为： ＋＝， (1)当D2＋E2－4F＞0时，方程表示圆，圆心为，半径为_． (2)当D2＋E2－4F＝0时，方程表示点． (3)当D2＋E2－4F＜0时，方程不表示任何图形． [互动探究] [例1]　判断下列方程是否表示圆，若是，写出圆心和半径． (1)3x2＋y2＋2x＋1＝0； (2)x2＋y2＋xy＋1＝0； (3)x2＋y2＋x＋2y＋1＝0； 【解】　(1)由于x2，y2的系数不相等，∴该二元二次方程表示的不是圆． (2)由于该二次方程中含有xy项，∴该二元二次方程表示的不是圆． (3)由于D2＋E2－4F＝1＋4－4＞0，∴该二元二次方程表示的是圆． 又x2＋y2＋x＋2y＋1＝＋(y＋1)2－＝0， 即＋(y＋1)2＝，∴它表示以为圆心，以为半径的圆． 判断一个二元二次方程是否表示圆的步骤 先看这个方程是否具备圆的一般方程的特征，即①x2与y2的系数相等；②不含xy项；当它具有圆的一般方程的特征时，再看它能否表示圆，此时有两种途径，一是看D2＋E2－4F是否大于零，二是直接配方变形，看右端是否为大于零的常数即可． [跟踪训练] 1．(2022·湖北武汉部分重点中学期中)若圆C：x2＋y2－2(m－2)x＋2(m－2)y＋2m2－6m＋4＝0过坐标原点，则实数m的值为(　　) A．2或1　　　　　 B．－2或－1 C．1 D．－2 解析：由题意得2m2－6m＋4＝0，解得m＝1或m＝2. 当m＝2时，x2＋y2＝0，不符合题意，舍去； 当m＝1时，x2＋y2＋2x－2y＝0，即(x＋1)2＋(y－1)2＝2，满足题意． 综上所述，实数m的值为1.故选C． 答案：C 探究点二　求圆的一般方程 [基础梳理] 圆的一般方程 方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0. (1)当D2＋E2－4F＝0时，方程表示一个点，该点的坐标为； (2)当D2＋E2－4F＜0时，方程不表示任何图形； (3)当D2＋E2－4F＞0时，方程表示的曲线为圆，它的圆心坐标为，半径长等于 ．上述方程称为圆的一般方程． [互动探究] [例2]　已知A(2，2)，B(5，3)，C(3，－1)． (1)求△ABC的外接圆的一般方程； (2)若点M(a，2)在△ABC的外接圆上，求a的值． 【解】　(1)设△ABC外接圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0， 由题意，得 解得 即△ABC的外接圆的一般方程为x2＋y2－8x－2y＋12＝0. (2)由(1)知，△ABC的外接圆的一般方程为x2＋y2－8x－2y＋12＝0， 因为点M(a，2)在△ABC的外接圆上， 所以a2＋22－8a－2×2＋12＝0， 即a2－8a＋12＝0，解得a＝2或6. 利用待定系数法求圆的方程的解题策略 (1)如果由已知条件容易求得圆心坐标、半径或需利用圆心的坐标或半径列方程，一般采用圆的标准方程，再用待定系数法求出a，b，r. (2)如果已知条件与圆心和半径都无直接关系，一般采用圆的一般方程，再用待定系数法求出常数D，E，F.　　 [跟踪训练] 2．求经过点A(1，)和B(2，－2)，且圆心在x轴上的圆的方程． 解：设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)． 因为圆心在x轴上，所以－＝0， 即E＝0. 又圆过点A(1，)和B(2，－2)， 所以 即解得 故所求圆的方程为x2＋y2－6x＝0. 1．若方程x2＋y2－4x＋2y＋5k＝0表示圆，则k的取值范围是(　　) A．k＞1　 B．k＜1　 C．k≥1　 D．k≤1 解析：由方程表示圆的条件，得16＋4－20k＞0，解得k＜1. 答案：B 2．圆x2＋y2－2x＋6y＋8＝0的周长等于(　　) A．π B．2π C．2 π D．4π 解析：因为圆x2＋y2－2x＋6y＋8＝0化为标准方程得(x－1)2＋(y＋3)2＝2，所以圆的半径是，则圆的周长等于2 π. 答案：C 3．(2022·广东珠海二中期中)圆x2＋y2－2x－4y＋4＝0关于直线x－y－2＝0对称的圆的一般方程为________． 解析：方程x2＋y2－2x－4y＋4＝0可化为(x－1)2＋(y－2)2＝1，则圆的圆心为(1，2)，半径为1. 设点(1，2)关于直线x－y－2＝0对称的点的坐标为(a，b)，则 解得 故所求圆的圆心坐标为(4，－1)