第一章 2.1 圆的标准方程-【高考领航】2023-2024学年高中数学选择性必修第一册同步核心辅导与测评（北师大版）

§2　圆与圆的方程 2．1　圆的标准方程 [素养目标]　1.回顾确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的标准方程．　2.由圆的标准方程会认识圆心及半径，并会求圆的标准方程． 3.培养学生数形结合思想、数学运算的学科素养． 探究点一　求圆的标准方程 [基础梳理] 圆的标准方程 [互动探究] [例1]　求满足下列条件的圆的标准方程． (1)圆心为点(2，－1)，且过原点； (2)圆过两点A(3，1)、B(－1，3)，且它的圆心在直线3x－y－2＝0上． 【解】　(1)∵圆心在(2，－1)且过原点， ∴a＝2，b＝－1，r＝＝. ∴圆的标准方程为(x－2)2＋(y＋1)2＝5. (2)法一　设所求圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)，依题意， 得 即 解得 所以所求圆的标准方程是(x－2)2＋(y－4)2＝10. 法二　直线AB的斜率为k＝＝－， 可知AB垂直平分线m的斜率为2. AB中点的横坐标和纵坐标分别为 x＝＝1，y＝＝2. 因此m的方程为y－2＝2(x－1)，即2x－y＝0. 又圆心在直线3x－y－2＝0上， 所以圆心在这两条直线的交点上． 联立方程组解得 所以圆心坐标为C(2，4)．又半径r＝|CA|＝， 则所求圆的标准方程是(x－2)2＋(y－4)2＝10. 法三　设圆心为C， ∵圆心在直线3x－y－2＝0上， 故可设圆心C的坐标为(a，3a－2)． 又∵|CA|＝|CB|， 故 ＝， 解得a＝2， ∴圆心为(2，4)，半径r＝|CA|＝. 故所求圆的标准方程为(x－2)2＋(y－4)2＝10. 确定圆的标准方程，从思路上可分为两种 (1)几何法：由圆的几何性质求出圆心坐标和半径长，然后代入标准方程即可． (2)特定系数法：设出圆的标准方程，通过三个独立条件得到三个方程，解方程组以得到圆的标准方程中三个参数，从而确定圆的标准方程．这种方法体现了方程的思想，是最常用的方法，一般步骤是： ①设—设所求圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2； ②列—由已知条件，建立关于a，b，r的方程组； ③解—解方程组，求出a，b，r； ④代—将a，b，r代入所设方程，得所求圆的方程．　　 [跟踪训练] 1．(1)圆心在x轴上，半径为2，且过点(1，2)的圆的方程为(　　) A．(x－1)2＋y2＝4 B．(x－2)2＋y2＝4 C．x2＋(y－1)2＝4 D．(x－1)2＋(y－4)2＝4 解析：设圆心坐标为(a，0)，则(a－1)2＋4＝4， ∴a＝1， ∴圆的标准方程为(x－1)2＋y2＝4.故选A． 答案：A (2)已知圆过点A(1，－2)，B(－1，4)． ①求周长最小的圆的方程； ②求圆心在直线2x－y－4＝0上的圆的方程． 解：①当线段AB为圆的直径时，过点A，B的圆的半径最小，从而周长最小，即以线段AB的中点(0，1)为圆心，r＝|AB|＝为半径．则所求圆的方程为x2＋(y－1)2＝10. ②设圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2. 则 解得 所以所求圆的方程为(x－3)2＋(y－2)2＝20. 探究点二　点与圆的位置关系 [基础梳理] 点与圆的位置关系 圆A：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)，其圆心为A(a，b)，半径为r，点P(x0，y0)，设d＝|PA|. 位置关系 几何法 图示 代数法 点在圆外 d＞r (x0－a)2＋(y0－b)2＞r2 点在圆上 d＝r (x0－a)2＋(y0－b)2＝r2 点在圆内 d＜r (x0－a)2＋(y0－b)2＜r2 [互动探究] [例2]　如图，已知两点P1(4，9)和P2(6，3)． (1)求以P1P2为直径的圆的方程； (2)试判断点M(6，9)，N(3，3)，Q(5，3)是在圆上，在圆内，还是在圆外． 【解】　(1)设圆心C(a，b)，半径长为r，则由C为P1P2的中点，得a＝＝5，b＝＝6. 又由两点间的距离公式得 r＝|CP1|＝ ＝， 故所求圆的方程为(x－5)2＋(y－6)2＝10. (2)由(1)知，圆心C(5，6)，则分别计算点到圆心的距离： |CM|＝ ＝； |CN|＝ ＝＞； |CQ|＝ ＝3＜ . 因此，点M在圆上，点N在圆外，点Q在圆内． 判断点与圆的位置关系的方法 (1)确定圆的方程，化为(x－a)2＋(y－b)2＝r2. (2)将点的坐标代入代数式(x－a)2＋(y－b)2，比较代数式的值与r2的大小关系． (3)下结论：若(x－a)2＋(y－b)2＝r2，表示点在圆上；若(x－a)2＋(y－b)2＞r2，表示点在圆外；若(x－a)2＋(y－b)2＜r2，表示点在圆内． 此外，也可以利用点与圆心的距离d与半径r的大小关系来判断．当d＞r时，点在圆外；