第一章 1.6 平面直角坐标系中的距离公式-【高考领航】2023-2024学年高中数学选择性必修第一册同步核心辅导与测评（北师大版）

1．6　平面直角坐标系中的距离公式 [素养目标]　1.探索并掌握平面上两点间的距离公式．　2.探索并掌握点到直线的距离公式及有关应用．　3.会求两条平行直线间的距离及解决两平行直线间的距离问题．　4.培养学生数学运算的学科素养． 探究点一　两点间的距离公式及应用 [基础梳理] 两点间的距离公式 (1)公式：两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式|P1P2|＝ ，特别地，原点O(0，0)与任一点P(x，y)的距离|OP|＝ . (2)本质：用代数方法求平面内两点之间的距离． [互动探究] [例1]　在直线l：3x－y＋1＝0上求一点P，使点P到两点A(1，－1)，B(2，0)的距离相等． 【解】　法一　设P点坐标为(x，y)， 由P在l上和P到A，B距离相等建立方程组 解得∴P点坐标为(0，1)． 法二　设P(x，y)，两点A(1，－1)，B(2，0)连线所得线段的中垂线方程为x＋y－1＝0，① 又3x－y＋1＝0，② 解由①②组成的方程组 得所以所求的点为P(0，1)． 利用坐标平面内两点间的距离公式可以求平面上任意两个已知点间的距离．反过来，已知两点间的距离也可以根据条件求其中一个点的坐标．　　 [跟踪训练] 1．已知点A(4，12)，P为x轴上的一点，且点P与点A的距离等于13，则点P的坐标为______． 解析：设点P的坐标为(x，0)， 由|PA|＝13，得 ＝13，解得x＝－1或x＝9. 所以点P的坐标为(－1，0)或(9，0)． 答案：(－1，0)或(9，0) 探究点二　点到直线的距离 [基础梳理] 点到直线的距离 (1)公式：点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离就是从点P到直线l的垂线段PQ的长度，其中Q是垂足，d＝． 当A＝0，或B＝0时，上述公式仍然成立． (2)本质：用代数方法求平面内点到直线的距离． [互动探究] [例2]　求点P0(－1，2)到下列直线的距离： (1)2x＋y－10＝0；(2)x＝2；(3)y－1＝0. 【解】　(1)由点到直线的距离公式知d＝＝＝2 . (2)法一　直线方程化为一般式为x－2＝0. 由点到直线的距离公式知d＝＝3. 法二　∵直线x＝2与y轴平行， ∴由图①知d＝|－1－2|＝3. (3)法一　由点到直线的距离公式得d＝＝1. 法二　∵直线y－1＝0与x轴平行，∴由图②知d＝|2－1|＝1. 1．在使用点到直线的距离公式时，首先把直线方程化为一般式，再利用公式求解． 2．在已知点到直线的距离求参数时，只需根据公式列方程求解参数即可． [跟踪训练] 2．已知△ABC的三个顶点A(－1，4)，B(－2，－1)，C(2，3)． (1)BC边的高所在直线方程为________； (2)△ABC的面积为________． 解析：(1)设BC边的高所在直线为l.易知kBC＝＝1，所以kl＝－1. 又点A(－1，4)在直线l上，所以直线l的方程为y－4＝－(x＋1)，即x＋y－3＝0. (2)结合(1)知BC所在直线的方程为y＋1＝x＋2，即x－y＋1＝0. ∴点A(－1，4)到直线BC的距离为＝2. 又|BC|＝＝4， ∴S△ABC＝×2×4＝8. 答案：(1)x＋y－3＝0　(2)8 探究点三　两平行线间的距离 [基础梳理] 1．求两条平行线间的距离时，可转化为求其中一条直线上任意一点到另一条直线的距离． 2．两条平行线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0间的距离公式为d＝(其中A，B不全为0，且C1≠C2)． [互动探究] [例3]　求与两条平行直线l1：2x－3y＋4＝0与l2：2x－3y－2＝0距离相等的直线l的方程． 【解】　设所求直线l的方程为2x－3y＋C＝0. 由直线l与两条平行线的距离相等， 得＝， 即|C－4|＝|C＋2|， 解得C＝1. 故直线l的方程为2x－3y＋1＝0. 由两平行直线间的距离求直线方程通常有两种思路：(1)设出所求直线方程后，在其中一条直线上取一点，利用点到直线的距离公式求解；(2)直接运用两平行直线间的距离公式求解． [跟踪训练] 3．(2023·山东济宁高二期中)P，Q分别为直线3x＋4y－12＝0与6x＋8y＋1＝0上任一点，则|PQ|的最小值为(　　) A．　　　　　　　 B．3 C． D．6 解析：易知直线3x＋4y－12＝0与6x＋8y＋1＝0平行，3x＋4y－12＝0可化为6x＋8y－24＝0，所以|PQ|min＝＝.故选C． 答案：C 探究点四　距离公式的综合应用 [互动探究] [例4]　已知直线l过点A(2，4)，且被平行直线l1：x－y＋1＝0与l2：x－y－1＝0所截的线段中点M在直线x＋y－3＝0上，求直线l的方程． 【解】　法一　∵点M在直线x＋y－3＝0上，