第一章 1.5 两条直线的交点坐标-【高考领航】2023-2024学年高中数学选择性必修第一册同步核心辅导与测评（北师大版）

1．5　两条直线的交点坐标 [素养目标]　1.能用解方程组的方法求两条直线的交点坐标．　2.理解用代数的方法解决问题的思想方法，培养学生数形结合、数学运算的学科素养． 探究点一　直线的位置关系与交点 [基础梳理] 两直线的交点坐标 直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0(A1，B1不全为0)，l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A2，B2不全为0)的位置关系如表所示． 方程组的解 一组 无数组 无解 直线l1和l2公共点的个数 一个 无数个 零个 直线l1和l2的位置关系 相交 重合 平行 [互动探究] [例1]　判断下列直线的位置关系，若相交，求出它们的交点坐标． (1)l1：2x－y＝7，l2：3x＋2y－7＝0. (2)l1：2x－6y＋4＝0，l2：4x－12y＋8＝0. (3)l1：4x＋2y＋4＝0，l2：y＝－2x＋3. 【解】　法一　(1)解方程组 解得 所以直线l1与l2相交，交点坐标为(3，－1)． (2)因为方程组有无数组解，所以l1和l2重合． (3)因为方程组无解， 所以l1∥l2. 法二　(1)因为l1：2x－y＝7，l2：3x＋2y－7＝0的斜率不相等，故两直线相交．由解得 所以直线l1与l2的交点坐标为(3，－1)． (2)因为l1：2x－6y＋4＝0，l2：4x－12y＋8＝0，且＝＝， 所以l1和l2重合． (3)因为l1：4x＋2y＋4＝0，l2：y＝－2x＋3即2x＋y－3＝0且＝≠， 所以l1∥l2. 判断两直线相交的三种常用思路 (1)方程组的观点：解两直线方程组成的方程组，若只有一个解，则两直线相交． (2)倾斜角的观点：倾斜角不同，则两直线必相交． (3)斜率的观点：如果两直线的斜率都存在但不相等，则两直线必相交；如果两直线中一条斜率存在，而另一条斜率不存在，则这两条直线也相交． [跟踪训练] 1．两直线2x＋3y－k＝0和x＋ky－12＝0的交点在y轴上，那么k的值是(　　) A．－24　　　　　　　 B．6 C．±6 D．24 解析：∵两直线2x＋3y－k＝0和x＋ky－12＝0的交点在y轴上， 令x＝0，可得y＝＝，解得k＝±6. 答案：C 探究点二　过两直线交点的直线 [互动探究] [例2]　直线l过直线x＋y－2＝0和直线x－y＋4＝0的交点，且与直线3x－2y＋4＝0平行，求直线l的方程． 【解】　法一　联立方程得 解得 即直线l过点(－1，3)． 设直线l的方程为y－3＝k(x＋1)， 因为直线l与直线3x－2y＋4＝0平行，所以k＝，所以直线l的方程为 y－3＝(x＋1)，即3x－2y＋9＝0. 法二　设直线l的方程为x－y＋4＋λ(x＋y－2)＝0， 整理得(1＋λ)x＋(λ－1)y＋4－2λ＝0， 因为直线l与直线3x－2y＋4＝0平行， 所以＝≠，解得λ＝， 所以直线l的方程为x－y＋＝0， 即3x－2y＋9＝0. 过两条直线交点的直线方程的两种求法 (1)先解方程组求出交点坐标，再结合其他条件写出直线方程． (2)若两相交直线的方程分别为l1：A1x＋B1y＋C1＝0； l2：A2x＋B2y＋C2＝0.则过其交点直线方程可设为 A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(不包含直线l2)． 在此基础上可结合其他条件求参数λ.　　 [跟踪训练] 2．经过两条直线2x－3y＋10＝0和3x＋4y－2＝0的交点，且垂直于直线3x－2y＋4＝0的直线的方程为________． 解析：法一　由 得垂直于直线3x－2y＋4＝0的直线的斜率为－，故所求的直线方程为y－2＝－(x＋2)，即2x＋3y－2＝0. 法二　设所求方程为2x－3y＋10＋λ(3x＋4y－2)＝0，即(2＋3λ)x＋(4λ－3)y＋10－2λ＝0，由题意，3(2＋3λ)－2(4λ－3)＝0，解得λ＝－12， 故所求的直线方程为2x＋3y－2＝0. 答案：2x＋3y－2＝0 探究点三　两直线交点的综合应用 [互动探究] [例3]　(1)不论a为何实数，直线l：(a＋2)x－(a＋1)y＝2－a恒过一定点，则此定点的坐标为________． 【解析】　直线可化为a(x－y＋1)＋2x－y－2＝0，由得 【答案】　(3，4) (2)已知△ABC中，BC边上的高所在的直线方程为x－2y＋1＝0，∠A的平分线所在直线的方程为y＝0. ①求点A的坐标； ②若点B的坐标为(1，2)，求点C的坐标． 【解】　①由 得所以A(－1，0)． ②因为y＝0是∠A的平分线， 所以点B关于y＝0的对称点B′(1，－2)在直线AC上，所以直线AC的方程为＝＝－1，即y＝－x－1. 又因为BC的方程为y－2＝－2(x－1)， 即y＝－2x＋4. 由解得 所以点C(5，－6)． 1．常见的