第一章 1.4 两条直线的平行与垂直-【高考领航】2023-2024学年高中数学选择性必修第一册同步核心辅导与测评（北师大版）

1．4　两条直线的平行与垂直 [素养目标]　1.能根据斜率判定两条直线的平行或垂直．　2.培养学生用代数的方法研究直线的位置关系及数学运算的学科素养． 探究点一　两条直线平行 [基础梳理] 设两条不重合的直线l1，l2，倾斜角分别为α1，α2，斜率存在时分别为k1，k2，则对应关系如下： 前提条件 α1＝α2≠90° α1＝α2＝90° 对应关系 l1∥l2⇔k1＝k2 l1∥l2⇔两直线斜率都不存在 图示 [互动探究] [例1]　(1)直线l1：mx＋4y＋3＝0，l2：2x＋(m＋2)y＋3＝0，若l1∥l2，则m的值为________． 【解析】　若l1∥l2，①当l1∥x轴，即m＝0时，l1：4y＋3＝0，l2：2x＋2y＋3＝0，l1与l2不平行． ②当l2∥y轴，即m＝－2时，l1：－2x＋4y＋3＝0，l2：2x＋3＝0.l1与l2不平行． ③当m≠0且m≠－2时，由＝，解得m＝－4或m＝2，而m＝2时，l1与l2重合，所以m≠2，所以m＝－4. 【答案】　－4 (2)判断下列各小题中的直线l1与l2是否平行． ①l1经过点A(－1，－2)，B(2，1)，l2经过点M(3，4)，N(－1，－1)； ②l1的倾斜角为45°，l2经过点A(1，1)，B(2，2)； ③l1经过点A(0，1)，B(1，0)，l2经过点M(－1，3)，N(0，2)； ④l1经过点A(－3，2)，B(－3，10)，l2经过点M(5，－2)，N(5，5)． 【解】　①k1＝＝1，k2＝＝，k1≠k2， ∴l1与l2不平行． ②k1＝1，k2＝＝1，k1＝k2， ∴l1∥l2或l1与l2重合． ③k1＝＝－1，k2＝＝－1. 且四点不共线，∴l1∥l2. ④l1⊥x轴，l2⊥x轴，且l1与l2不重合， ∴l1∥l2. 关于直线平行关系的判定 (1)分别计算斜率，判断斜率关系，若斜率相等还要检验是否重合． (2)直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0， ①A2，B2，C2均不为0， l1∥l2⇔＝≠；l1与l2重合⇔＝＝； ②A2，B2中有一个为0，则根据A1，B1是否为0判断位置关系； ③若C2为0，则根据①只需判断A1，B1与A2，B2的关系； ④当A2，B2，C2中有为0的情况，先由A1B2－A2B1＝0，再看是否重合来判定．　　 [跟踪训练] 1．已知点P(－2，m)，Q(m，4)，M(m＋2，3)，N(1，1)，若直线PQ∥直线MN，求m的值． 解：当m＝－2时，直线PQ的斜率不存在，直线MN的斜率存在，所以直线MN与直线PQ不平行，不合题意． 当m＝－1时，直线MN的斜率不存在，直线PQ的斜率存在，所以直线MN与直线PQ不平行，不合题意． 当m≠－2且m≠－1时，直线PQ的斜率kPQ＝＝， 直线MN的斜率kMN＝＝. 因为直线PQ∥直线MN，所以kPQ＝kMN， 即＝，解得m＝0或m＝1. 当m＝0或1时，由图形(图略)知，两直线不重合． 综上，m的值为0或1. 探究点二　两条直线垂直 [基础梳理] 1．两条垂直直线斜率之间的关系 对应 关系 l1与l2的斜率都存在，分别为k1，k2，则l1⊥l2⇔k1·k2＝－1 l1与l2中的一条斜率不存在，另一条斜率为零，则l1与l2的位置关系是l1⊥l2 图示 2.一般地，若已知平面直角坐标系中的直线l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，可得l1⊥l2⇔k1k2＝－1． 3．设直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0(A＋B≠0)，l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A＋B≠0)．因为v1＝(A1，B1)是直线l1的一个法向量，v2＝(A2，B2)是直线l2的一个法向量，如图所示，则l1⊥l2⇔v1·v2＝0⇔A1A2＋B1B2＝0． [互动探究] [例2]　(1)已知直线l1经过点A(3，a)，B(a－2，－3)，直线l2经过点C(2，3)，D(－1，a－2)，如果l1⊥l2，则a的值为________． 【解析】　因为直线l2经过点C(2，3)，D(－1，a－2)，且2≠－1，所以l2的斜率存在，设直线l2的斜率为k2.当k2＝0时，a－2＝3，则a＝5，此时直线l1的斜率不存在，符合题意．当k2≠0时，即a≠5，设直线l1的斜率为k1，直线l1的斜率存在，由k1·k2＝－1，得·＝－1，解得a＝－6，综上可知，a的值为5或－6. 【答案】　5或－6 (2)已知直线l1经过点(2m，1)，(－3，m)，直线l2经过点(m，m)，(1，－2)．若直线l1与l2垂直，求实数m的值． 【解】　①当直线l1和l2的斜率k1，k2都存在，即m≠－，且m≠1时，有k1＝，k2＝. ∵l1⊥l2，∴·＝－1，解得m＝－1. ②当m