第一章 1.3 第一课时 直线方程的点斜式-【高考领航】2023-2024学年高中数学选择性必修第一册同步核心辅导与测评（北师大版）

1．3　直线的方程 第一课时　直线方程的点斜式 [素养目标]　1.理解确定直线的点斜式方程的几何要素．　2.掌握直线方程的点斜式和斜截式．　3.了解斜截式与一次函数的关系．　4.培养学生数形结合思想及数学运算的学科素养． 探究点一　直线的点斜式方程 [基础梳理] 1．直线的方程 如果一条直线l上的每一点的坐标都是一个方程的解，并且以这个方程的解为坐标的点都在直线l上，那么这个方程称为直线l的方程． 2．直线的点斜式方程 直线l经过点P(x0，y0)，且斜率为k，则直线的方程为y－y0＝k(x－x0)． [互动探究] [例1]　若直线l过点(2，1)，分别求l满足下列条件时的直线方程． (1)倾斜角为150°；(2)平行于x轴；(3)平行于y轴；(4)过原点． 【解】　(1)直线的斜率为k＝tan 150°＝－， 所以由点斜式方程得y－1＝－(x－2)，即方程为x＋3y－3－2＝0. (2)平行于x轴的直线的斜率k＝0，故所求的直线方程为y＝1. (3)过点(2，1)且平行于y轴的直线方程为x＝2. (4)过点(2，1)与点(0，0)的直线的斜率k＝， 故所求的直线方程为y＝x. 利用点斜式求直线方程的方法 (1)用点斜式求直线的方程，首先要确定直线的斜率和其上一个点的坐标．注意在斜率存在的条件下，才能用点斜式表示直线的方程． (2)已知两点坐标求直线的方程，可以先求斜率，再用点斜式求直线的方程． [跟踪训练] 1．根据条件写出下列各题中的直线方程，并画出图形． (1)经过点(2，5)，倾斜角为45°； (2)经过点(4，2)且平行于x轴． 解：(1)因为倾斜角为45°，所以斜率k＝tan 45°＝1，所以直线的方程为y－5＝x－2.图形如图(1)所示． (2)由题意可知，直线的斜率为0，且直线经过点(4，2)，所以直线的方程为y＝2.图形如图(2)所示． 探究点二　直线的斜截式方程 [基础梳理] 名称 已知条件 示意图 方程 使用范围 斜 截 式 斜率k和 在y轴上 的截距b y＝kx＋b 斜率存在 的直线 [互动探究] [例2]　根据条件写出下列直线的斜截式方程． (1)斜率为2，在y轴上的截距是5； (2)倾斜角为150°，在y轴上的截距是－2； (3)倾斜角为60°，与y轴的交点到坐标原点的距离为3. 【解】　(1)由直线方程的斜截式可知， 所求直线方程为y＝2x＋5. (2)∵倾斜角α＝150°，∴斜率k＝tan 150°＝－， 由斜截式可得直线方程为y＝－x－2. (3)∵直线的倾斜角为60°， ∴其斜率k＝tan 60°＝. ∵直线与y轴的交点到原点的距离为3， ∴直线在y轴上的截距b＝3或b＝－3. ∴所求直线方程为y＝x＋3或y＝x－3. 1．斜截式方程的应用前提是直线的斜率存在．当b＝0时，y＝kx表示过原点的直线；当k＝0时，y＝b表示与x轴平行(或重合)的直线． 2．截距不同于日常生活中的距离，截距是一个点的横(纵)坐标，是一个实数，可以是正数，也可以是负数或零，而距离是一个非负数． [跟踪训练] 2．直线l与直线l1：y＝2x＋6在y轴上有相同的截距，且l的斜率与l1的斜率互为相反数，则直线l的方程为________． 解析：由直线l1的方程可知它的斜率为2，它在y轴上的截距为6，所以直线l的斜率为－2，在y轴上的截距为6.由斜截式可得直线l的方程为y＝－2x＋6. 答案：2x＋y－6＝0 探究点三　点斜式、斜截式方程的应用 [互动探究] 角度1　图象的判断 [例3]　如图，直线y＝ax－的图象可能是(　　) 【解析】　选C．由方程y＝ax－表示的直线， 当a＞0时，斜率k＝a＞0，在y轴上的截距－＜0，都不符合此条件； 当a＜0时，斜率k＝a＜0，在y轴上的截距－＞0，只有C符合此条件． 角度2　利用点斜式或斜截式求待定直线方程 [例4]　求斜率为，且与两坐标轴围成的三角形的周长为12的直线方程． 【解】　设直线方程为y＝x＋b，令x＝0，得y＝b. 令y＝0，得x＝－b. ∴|b|＋＋ ＝12. ∴|b|＋|b|＋|b|＝12，∴b＝±3. ∴所求直线方程为3x－4y±12＝0. 1．直线的斜率决定直线上升、下降；在y轴上的截距决定直线与y轴交点的位置，一般根据这两个方面判断图象，不确定的分情况讨论． 2．根据点斜式y－y0＝k(x－x0)可求出定点(x0，y0)及斜率；变为斜截式y＝kx＋(y0－kx0)得在y轴上的截距y0－kx0或者令x＝0得y＝y0－kx0为在y轴上的截距． 3．设直线方程的斜截式、点斜式时，要注意斜率是否存在，当设出方程y－y0＝k(x－x0)或者y＝kx＋b时，就默认了斜率存在，要根据题意检查是否有无斜率的情况． [跟踪训练] 3．已