第二章 导数及其应用 章末检测(二)-【高考领航】2023-2024学年高中数学选择性必修第二册同步核心辅导与测评（北师大版）

章末检测（二） (时间：120分钟　满分：150分) 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．函数f(x)＝x2在区间[－1，2]上的平均变化率为(　　) A．－1 B．1 C．2 D．3 解析：选B.因为f(x)＝x2，所以f(x)在区间[－1，2]上的平均变化率为＝＝1.故选B. 2．函数y＝f(x)在R上可导，且f(x)＝2x2－f′(1)·x－3，则f(1)＋f′(1)＝(　　) A．0 B．1 C．－1 D．不确定 解析：选C.由f(x)＝2x2－f′(1)·x－3， 得f′(x)＝4x－f′(1)， ∴f′(1)＝4－f′(1)， ∴f′(1)＝2， ∴f(x)＝2x2－2x－3， ∴f(1)＝2－2－3＝－3. ∴f(1)＋f′(1)＝－3＋2＝－1. 3．放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变成其他元素，其含量不断减少，这种现象称为衰变．假设在放射性同位素铯137衰变过程中，其含量M(单位：太贝克)与时间t(单位：年)满足函数关系：M(t)＝600·2－，则铯137含量M在t＝30时的瞬时变化率为(　　) A．－10ln 2(太贝克/年) B．300ln 2(太贝克/年) C．－300ln 2(太贝克/年) D．300(太贝克/年) 解析：选A.依题意，M(t)＝600·2－， ∴M′(t)＝－×600×2－ln 2＝－20×2－ln 2，∴铯137含量M在t＝30时的瞬时变化率为M′(30)＝－20×2－1ln 2＝－10ln 2(太贝克/年)，故选A. 4．曲线y＝x－x3在横坐标为1的点处的切线为l，则点M(1，2)到直线l的距离为(　　) A. B． C. D． 解析：选A.y′＝1－3x2，则切线l的斜率k＝y′|x＝1＝－2，又易知切点为(1，0)，所以切线l的方程为2x＋y－2＝0，则点M(1，2)到直线l的距离为＝. 5．若函数f(x)＝x3＋2x2＋a2x－1有两个极值点，则a的取值范围是(　　) A．(－，) B．(－，) C．(－，) D．(－2，2) 解析：选A.f′(x)＝3x2＋4x＋a2. 因为函数f(x)有两个极值点，所以f′(x)＝3x2＋4x＋a2＝0有两个不等的实根，则Δ＝16－12a2＞0，解得－＜a＜，故选A. 6．设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数f(x)在x＝－2处取得唯一的极小值，则函数y＝xf′(x)的图象可能是(　　) 解析：选C.因为函数f(x)在x＝－2处取得唯一的极小值，所以x＜－2时，f′(x)＜0；x＞－2时，f′(x)＞0.所以x＜－2时，xf′(x)＞0；－2＜x＜0时，xf′(x)＜0；x＞0时，xf′(x)＞0.故选C. 7．方程f(x)＝f′(x)的实数根x0叫做函数f(x)的“新驻点”，如果函数g(x)＝ln x的“新驻点”为a，那么a满足(　　) A．a＝1 B．0＜a＜1 C．2＜a＜3 D．1＜a＜2 解析：选D.∵g(x)＝ln x，∴g′(x)＝，∴ln x＝.令h(x)＝ln x－(x＞0)，则h′(x)＝＋＞0，则h(x)在(0，＋∞)上为增函数．又h(1)＝－1＜0，h(2)＝ln 2－＝ln 2－ln ＞0，∴h(x)在(1，2)上存在唯一零点， ∴1＜a＜2. 8．定义域为R的可导函数y＝f(x)的导函数f′(x)，满足f(x)＜f′(x)，且f(0)＝2，则不等式f(x)＞2ex的解集为(　　) A．(－∞，0) B．(－∞，2) C．(0，＋∞) D．(2，＋∞) 解析：选C.设g(x)＝， 则g′(x)＝. 因为f(x)＜f′(x)，所以g′(x)＞0，即函数g(x)在定义域内单调递增，因为f(0)＝2，所以g(0)＝f(0)＝2，所以不等式f(x)＞2ex等价于g(x)＞g(0)．因为函数g(x)在定义域内单调递增．所以x＞0，所以不等式的解集为(0，＋∞)，所以选C. 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9．下列结论中正确的有(　　) A．若y＝sin ，则y′＝0 B．若f(x)＝3x2－f′(1)x，则f′(1)＝3 C．若y＝－＋x，则y′＝－＋1 D．若y＝sin x＋cos x，则y′＝cos x＋sin x 解析：选ABC.选项A中，若y＝sin ＝，则y′＝0，故A正确；选项B中，若f(x)＝3x2－f′(1)·x，则f′(x)＝6x－f′(1)，令x＝1，则f′(1)＝6－f′(1)，解得f′(1)＝3，故B正确；选项C中，若y＝－＋x，则y′＝－＋1，故C