第二章 2.1 2.2 导数的几何意义-【高考领航】2023-2024学年高中数学选择性必修第二册同步核心辅导与测评（北师大版）

§2　导数的概念及其几何意义 2．1　导数的概念 2．2　导数的几何意义 [素养目标]　1.了解导数概念的实际背景．　2.会利用导数的定义求函数在某点处的导数及其几何意义．　3.培养数学运算、逻辑推理、直观想象的学科素养． 探究点一　求函数在某一点处的导数 [基础梳理] 1．函数y＝f(x)的自变量x从x0变化到x0＋Δx的平均变化率 定义式 ＝ 实质 函数值的改变量与自变量的改变量之比 意义 刻画函数在[x0，x0＋Δx]上函数值变化的快慢 2.函数f(x)在x＝x0处的导数(瞬时变化率) 设函数y＝f(x)，当自变量x从x0变到x1时： (1)平均变化率：＝＝． (2)瞬时变化率：Δx趋于0时，趋于一个固定的值． (3)导数：函数y＝f(x)在x0点的瞬时变化率． 记作f′(x0)＝_ ＝_． 思考： (1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数一定存在吗？ 提示：当Δx→0时，平均变化率的极限存在，则函数y＝f(x)在x＝x0处可导，否则在x＝x0处不可导或无导数． (2)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数的定义还可以用别的式子表示吗？ 提示：还可以表示为 f′(x0)＝ ＝ 等． [互动探究] [典例1]　设函数y＝f(x)在x＝x0处可导，且 ＝a，则f′(x0)＝______． 解析：∵ ＝ ＝－3f′(x0)＝a， ∴f′(x0)＝－a. 答案：－a [典例2]　建造一栋面积为x平方米的房屋需要成本y万元，y是x的函数，y＝f(x)＝＋＋0.3，求f′(100)，并解释它的实际意义． 解析：从100变为100＋Δx时， 函数值y关于x的平均变化率为 ＝ ＝＋. 所以f′(100)＝ ＝ ＝0.105， f′(100)＝0.105表示当建筑面积为100平方米时，成本增加的速度为1050元/平方米，也就是说当建筑面积为100平方米时，每增加1平方米的建筑面积，成本就要增加1050元． 1．求函数y＝f(x)在点x0处的导数的三个步骤 简称：一差，二比，三极限． 2．瞬时变化率的变形形式 ＝ ＝ ＝ ＝f′(x0)． [变式训练] 1．求函数f(x)＝3x2－2x在x＝1处的导数． 解：∵Δy＝3(1＋Δx)2－2(1＋Δx)－(3×12－2×1)＝3(Δx)2＋4Δx， ∴＝＝3Δx＋4， ∴f′(1)＝ ＝ (3Δx＋4)＝4. 2．已知f(x)＝x2＋3. (1)求f(x)在x＝1处的导数； (2)求f(x)在x＝a处的导数． 解：(1)因为＝ ＝＝2＋Δx， 所以f′(1)＝ ＝ (2＋Δx)＝2. (2)因为＝ ＝＝2a＋Δx， 所以f′(a)＝ ＝ (2a＋Δx)＝2a. 探究点二　曲线的切线 [基础梳理] 1．割线的定义：过A(x0，f(x0))和B(x0＋Δx，f(x0＋Δx))两点的直线是曲线y＝f(x)在A点处的一条割线，其斜率为． 2．切线的定义：当Δx趋于零时，点B将沿着曲线y＝f(x)趋于点A，割线AB将绕点A转动最后趋于直线l，直线l和曲线y＝f(x)在点A处相切，称直线l为曲线y＝f(x)在点A处的切线． 3．函数在x0处的导数的几何意义 函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点(x0，f(x0))处的切线的斜率．相应地，切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)． k0＝_＝f′(x0)． 思考： (1)曲线的切线与曲线一定只有一个公共点吗？ 提示：不一定．除切点外，还可能有其它公共点． (2)曲线“在点P处的切线”与“过点P的切线”的差异是什么？ 提示：在点P处的切线，点P必为切点，过点P的切线，点P不一定为切点，点P也不一定在曲线上． [互动探究] 角度1　求曲线的切线 [典例3]　已知曲线C：y＝x3. (1)求曲线C在横坐标为x＝1的点处的切线方程； (2)求曲线C过点P(1，1)的切线方程． 解：(1)将x＝1代入曲线C的方程得y＝1， ∴切点P(1，1)． f′(1)＝ ＝ ＝[3＋3Δx＋(Δx)2]＝3. ∴k＝f′(1)＝3. ∴曲线在点P(1，1)处的切线方程为y－1＝3(x－1)，即3x－y－2＝0. (2)设切点为Q(x0，y0)，由(1)可知f′(x0)＝3x，由题意可知kPQ＝f′(x0)．则切线方程为y－y0＝f′(x0)(x－x0)，将P(1，1)代入得 1－y0＝3x(1－x0)，又y0＝x，所以1－x＝3x(1－x0)，即2x－x0－1＝0，解得x0＝1或x0＝－. ①当x0＝1时，切点坐标为(1，1)，相应的切线方程为3x－y－2＝0. ②当x0＝－时，切点坐标为，相应的切线方程为y＋＝，即3x－4y＋1＝0. 利用导数的几何意义求切线方程的方法 (1)若已知点(x0，y0)