第一章 3.2 第2课时 等比数列前n项和的性质-【高考领航】2023-2024学年高中数学选择性必修第二册同步核心辅导与测评（北师大版）

第2课时　等比数列前n项和的性质 [素养目标]　 1.理解等比数列前n项和公式的推导过程．　2.掌握等比数列前n项和的公式，运用前n项和公式解决等比数列问题．　3.培养数学运算、逻辑推理的学科素养． 探究点一　等比数列前n项和的性质 [基础梳理] 1．等比数列前n项和Sn与函数的关系 当公比q≠1时，等比数列的前n项和公式是Sn＝，它可以变形为Sn＝－·qn＋.设A＝.上式可写成Sn＝－Aqn＋A.由此可见，q≠1的等比数列的前n项和Sn是由关于n的一个指数式与一个常数的和构成的，而指数式的系数与常数项互为相反数．当q≠1时，数列S1，S2，S3，…，Sn，…的图象是函数y＝－Aqx＋A图象上的一些孤立的点． 2．等比数列前n项和的性质 (1)若数列{an}为等比数列，Sn为前n项和，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…，仍构成等比数列，公比为qn(q≠－1)． (2)数列{an}是公比为q的等比数列，若项数为2n(n∈N＋)，则＝q． (3)若某数列{an}的前n项和公式为Sn＝an－1(a≠0，a≠1)，则{an}为等比数列． (4)在数列{an}中，若其前n项和为Sn，则Sn＝Sn－1＋an(n≥2)． (5)若数列前n项和公式为Sn＝－Aqn＋A(A≠0，q≠0且q≠1，n∈N＋)，则{an}为等比数列． 思考： 　对任意等比数列{an}，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等比数列，成立吗？ 提示：当q＝－1时，n为偶数时，Sn＝0，那么Sn，S2n－Sn，S3n－S2n不成等比数列． [互动探究] [典例1]　已知数列{an}是等比数列，Sn为其前n项和，若a1＋a2＋a3＝4，a4＋a5＋a6＝8，则S12等于(　　) A．40　　 B．60　　　 C．32　　 D．50 解析：选B.由等比数列的性质可知，数列S3，S6－S3，S9－S6，S12－S9是等比数列，即数列4，8，S9－S6，S12－S9是等比数列，因此S12＝4＋8＋16＋32＝60，故选B. [典例2]　在各项均为正数的等比数列{an}中，若S10＝10，S20＝30，求S30. 解：法一：设等比数列{an}的公比为q，显然q≠1. 由已知条件可列出方程组 两式作商得1＋q10＝3，∴q10＝2， ∴S30＝＝(1＋q10＋q20)＝10×(1＋2＋4)＝70. 法二：由性质Sm＋n＝Sn＋qn·Sm得， S20＝S10＋q10S10，即30＝10＋10q10， ∴q10＝2， ∴S30＝S20＋q20S10＝30＋40＝70. 法三：运用性质＝(q≠±1)． 由已知条件S10＝10，S20＝30，易得q≠±1， ∴＝， 即＝.∴q10＝2. 又＝，解得S30＝70. 法四：运用性质Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，S4k－S3k，…成等比数列． ∵S10，S20－S10，S30－S20成等比数列， 而S10＝10，S20＝30， ∴(S20－S10)2＝S10·(S30－S20)， 即(30－10)2＝10×(S30－30)，∴S30＝70. 解决有关等比数列前n项和的问题，要合理运用其性质，并注意运用： (1)分类讨论思想：①利用等比数列前n项和公式时要分公比q＝1和q≠1两种情况讨论；②研究等比数列的单调性时应进行讨论：当a1>0，q>1或a1<0，0<q<1时为递增数列；当a1<0，q>1或a1>0，0<q<1时为递减数列；当q<0时为摆动数列；当q＝1时为常数列． (2)函数思想：等比数列的通项an＝a1qn－1＝·qn(q>0且q≠1)常和指数函数相联系；等比数列前n项和Sn＝(qn－1)(q≠1)，设A＝，则Sn＝A(qn－1)与指数函数相联系． (3)整体思想：应用等比数列前n项和公式时，常把qn，当成整体求解． [变式训练] 1．设Sn是等比数列{an}的前n项和，若＝3，则＝(　　) A．2 B． C. D．1或2 解析：选B.设S2＝k，则S4＝3k，由数列{an}为等比数列(易知数列{an}的公比q≠－1)，得S2，S4－S2，S6－S4为等比数列，又S2＝k，S4－S2＝2k，∴S6－S4＝4k，∴S6＝7k，∴＝＝，故选B. 2．等比数列{an}共有2n项，其和为－240，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比q＝________． 解析：由题意，知 ∴∴公比q＝＝＝2. 答案：2 探究点二　等比数列前n项和的应用 [互动探究] [典例3]　从社会效益和经济效益出发，某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业，根据规划，本年度投入800万元，以后每年投入将比上年减少，本年度当地旅游业收入估计为400万元，由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后旅游业收入每年会比上年增加.设n年内(本年度为第1