第一章 3.2 第1课时 等比数列的前n项和-【高考领航】2023-2024学年高中数学选择性必修第二册同步核心辅导与测评（北师大版）

3．2　等比数列的前n项和 第1课时　等比数列的前n项和 [素养目标]　1.理解等比数列前n项和公式的推导过程．　2.掌握等比数列前n项和的公式，运用前n项和公式解决等比数列问题．　3.培养数学运算、逻辑推理的学科素养． 探究点一　等比数列的前n项和 [基础梳理] 等比数列的前n项和公式 已知量 首项、公比和项数 首项、末项和公比 公式 Sn＝ Sn＝ 思考： (1)对于等比数列的前n项和Sn＝＝一定成立吗？ 提示：不一定，当q＝1时不成立． (2)数列{an}的通项公式为an＝an，其前n项和如何求？ 提示：当a＝1时，Sn＝na； 当a≠1时，Sn＝. [互动探究] 角度1　求等比数列的前n项和 [典例1]　求下列等比数列前8项的和： (1)，，，…； (2)a1＝27，a9＝，q<0. 解：(1)因为a1＝，q＝， 所以S8＝＝. (2)由a1＝27，a9＝，可得＝27·q8. 又由q<0，可得q＝－， 所以S8＝＝＝＝. 熟记公式，关键是求出首项与公比，利用公式运算即可，特别注意q＝1时公式的运用． 角度2　等比数列前n项和的基本计算 [典例2]　在等比数列{an}中， (1)若a1＝1，a5＝16，且q>0，求S7； (2)若Sn＝189，q＝2，an＝96，求a1和n； (3)若a3＝，S3＝，求a1和公比q. 解：(1) ∵{an}为等比数列且a1＝1，a5＝16， ∴a5＝a1q4，∴16＝q4， ∴q＝2，q＝－2(舍去)， ∴S7＝＝＝127. (2)法一：由Sn＝，an＝a1qn－1， 以及已知条件得 ∴a1·2n＝192，∴2n＝. ∴189＝a1(2n－1)＝a1(－1)，∴a1＝3. 又∵2n－1＝＝32，∴n＝6. 法二：由公式Sn＝及条件得 189＝，解得a1＝3，又由an＝a1·qn－1， 得96＝3·2n－1，解得n＝6. (3)①当q≠1时，S3＝＝， 又a3＝a1·q2＝，∴a1(1＋q＋q2)＝， 即(1＋q＋q2)＝， 解得q＝－(q＝1舍去)，∴a1＝6. ②当q＝1时，S3＝3a1，∴a1＝. 综上得或 Sn＝＝(q≠1)为等比数列的求和公式，其中涉及a1，an，Sn，n，q五个量，通常已知其中三个，即可求另外两个，方法是解方程组，这也是等比数列的基本问题．当已知首项a1、公比q及项数n时，用公式Sn＝；当已知首项a1、末项an及公比q时，用公式Sn＝.另外在这两个公式中强调公比q≠1，若公比q＝1，则数列为非零常数列．因此在进行等比数列的前n项求和计算时需要对公比q是否为1进行讨论．分类讨论思想是这一章中的一个重要思想，也是高考的重要考点．　　 [变式训练] 1．等比数列{an}的各项均为实数，其前n项和为Sn，已知S3＝，S6＝，则a8＝________． 解析：设{an}的首项为a1，公比为q， 则 解得所以a8＝×27＝25＝32. 答案：32 2．设Sn是等比数列{an}的前n项和，且满足3S9＝7S6，mS6＝nS3，则＝________． 解析：设等比数列{an}的公比为q， 若q＝1，则3S9＝27a1，7S6＝42a1，3S9＝7S6，则a1＝0，显然不成立，故q≠1. 因为3S9＝7S6，mS6＝nS3，所以3×＝7×，m＝n， 所以3(1＋q3＋q6)＝7(1＋q3)，解得q3＝2或－.所以＝1＋q3＝3或. 答案：3或 3．求数列{(－1)n＋2}的前100项的和． 解：法一：a1＝(－1)3＝－1，q＝－1. ∴S100＝＝0. 法二：数列{(－1)n＋2}为－1，1，－1，1，…， ∴S100＝50×(－1＋1)＝0. 4．在14与之间插入n个数，组成所有项的和为的等比数列，求此数列的项数． 解：设此数列的公比为q(易知q≠1)， 则 解得故此数列共有5项． 5．等比数列{an}中，a1＝1，a5＝4a3. (1)求{an}的通项公式； (2)记Sn为{an}的前n项和．若Sm＝63，求m. 解：(1)设{an}的公比为q，由题设得an＝qn－1. 由已知得q4＝4q2，解得q＝0(舍去)，q＝－2或q＝2. 故an＝(－2)n－1或an＝2n－1. (2)若an＝(－2)n－1，则Sn＝. 由Sm＝63得(－2)m＝－188，此方程没有正整数解． 若an＝2n－1，则Sn＝2n－1.由Sm＝63得2m＝64，解得m＝6. 综上，m＝6. 探究点二　错位相减法求和 [基础梳理] 等比数列{an}的首项为a1，公比为q，其前n项和为Sn＝a1＋a2＋…＋an. 结合通项公式an＝a1qn－1可得，当q≠1时， Sn＝a1＋a1q＋a1q2＋…＋a1qn－1，① qSn＝a1q＋a1q2＋a1q3＋…＋a1qn，② ②－①得(q－1)Sn