第一章 2.2 第2课时 等差数列前n项和的性质-【高考领航】2023-2024学年高中数学选择性必修第二册同步核心辅导与测评（北师大版）

第2课时　等差数列前n项和的性质 [素养目标]　1.掌握等差数列前n项和公式、性质及其应用．　2.能熟练应用公式解决实际问题，并体会方程思想．　3.培养数学建模、数学运算、数学抽象、逻辑推理的学科素养． 探究点一　等差数列前n项和性质的应用 [基础梳理] 　与等差数列的前n项和Sn有关的性质： (1)等差数列的依次每k项之和Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…组成公差为k2d的等差数列． (2)①若等差数列的项数为2n(n∈N＋)，则S2n＝n(an＋an＋1)(an，an＋1为中间两项)且S偶－S奇＝nd，＝． ②若项数为2n－1，则S2n－1＝(2n－1)an(an为中间项)且S奇－S偶＝an，＝． (3)若Sn为数列{an}的前n项和，则{an}为等差数列等价于是等差数列． (4)若{an}，{bn}都为等差数列，Sn，Sn′为它们的前n项和，则＝. (5)项数(下标)的“等和”性质： Sn＝＝. 思考： (1)若一个等差数列含有2n＋1项(n∈N＋)，其奇数项的和与偶数项的和之比为多少？ 提示：＝. (2)若一个等差数列含有2n项(n∈N＋)，则为多少？ 提示：＝. [互动探究] [典例1]　在等差数列{an}中，已知a4＋a8＝16，则该数列的前11项和S11＝(　　) A．58　　 B．88　　　 C．143　　 D．176 解析：选B.利用等差数列的性质及求和公式求解．因为{an}是等差数列，所以a1＋a11＝a4＋a8＝2a6＝16⇒a6＝8，则该数列的前11项和为S11＝＝11a6＝88. [典例2]　有两个等差数列{an}，{bn}，它们的前n项和分别为Sn和Tn.若＝，则等于________． 解析：由{an}，{bn}是等差数列，＝，不妨设Sn＝kn(2n＋1)，Tn＝kn(n＋2)(k≠0)，则an＝3k＋4k(n－1)＝4kn－k，bn＝3k＋2k(n－1)＝2kn＋k.所以＝＝. 答案： [典例3]　等差数列{an}中，S10＝310，S20＝1220，求S30. 解：法一：设{an}的公差为d，前n项和为Sn， 由题意得解得 ∴S30＝30a1＋d＝30×4＋×6＝2730. 法二：设Sn＝An2＋Bn(A，B为常数，A2＋B2≠0)， 由题意得解得 ∴S30＝302A＋30B＝900×3＋30×1＝2730. 法三：∵{an}为等差数列，∴S10，S20－S10，S30－S20成等差数列，即310，1220－310，S30－1220成等差数列， ∴S30－1220＝2×(1220－310)－310， ∴S30＝2730. [典例4]　有一等差数列共有偶数项，它的奇数项之和与偶数项之和分别是24和30，若最后一项与第一项之差为10.5，试求此数列的首项、公差和项数． 解：法一：设此数列的首项为a1，公差为d，项数为2k(k∈N＋)， 由已知得所以 即解得 因为S2k＝2ka1＋×2k(2k－1)d＝8a1＋42， 所以8a1＋42＝54，故a1＝， 所以此数列的首项是，公差是，项数为8. 法二：设此数列的首项为a1，公差为d，项数为2k(k∈N＋)，根据题意， 得即 即解得 所以此数列的首项为，公差为，项数为8. 等差数列前n项和运算的几种思维方法 (1)整体思路：利用公式Sn＝，设法求出整体a1＋an，再代入求解． 利用Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等差数列进行求解． 利用S奇与S偶的关系求解． (2)待定系数法：利用Sn是关于n的二次函数，设Sn＝An2＋Bn(A≠0)，列出方程组求出A，B即可，或利用是关于n的一次函数，设＝an＋b(b≠0)进行计算． [变式训练] 1． Sn是等差数列{an}的前n项和，a3＋a4＝12，S7＝49，则首项a1＝(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 解析：选A.∵S7＝49＝＝7a4， ∴a4＝7， 又a3＋a4＝12，∴a3＝5， ∴公差d＝a4－a3＝7－5＝2， ∴a1＝a3－2d＝5－4＝1. 2．一个等差数列的前12项的和为354，前12项中偶数项的和与奇数项的和之比为32∶27，则该数列的公差d＝________． 解析：法一：设等差数列的首项为a1，公差为d，由题意可得解得d＝5. 法二：由已知条件，得 解得 又S偶－S奇＝6d，所以d＝＝5. 答案：5 3．等差数列{an}的前m项和为30，前2m项和为100，则数列{an}的前3m项的和S3m为________． 解析：在等差数列中，∵Sm，S2m－Sm，S3m－S2m成等差数列， ∴30，70，S3m－100成等差数列． ∴2×70＝30＋(S3m－100)，∴S3m＝210. 答案：210 探究点二　已知Sn求an [基础梳理] 　数列的前n项和 我们把数列{