第一章 2.2 第1课时 等差数列的前n项和-【高考领航】2023-2024学年高中数学选择性必修第二册同步核心辅导与测评（北师大版）

2．2　等差数列的前n项和 第1课时　等差数列的前n项和 [素养目标]　1.探索并掌握等差数列的前n项和公式．　2.能利用等差数列的前n项和公式求和及其他有关问题．　3.培养数学抽象、数学建模、数学运算、逻辑推理的学科素养． 探究点一　等差数列前n项和的计算 [基础梳理] 1．等差数列的前n项和公式 已知量 首项、末项与项数 首项、公差与项数 求和公式 Sn＝　① Sn＝na1＋　② 2.等差数列的前n项和公式的推导(倒序相加法) 设Sn是等差数列{an}的前n项和，d为{an}的公差，Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an， 倒序得Sn＝an＋an－1＋…＋a2＋a1， 两式相加得2Sn＝(a1＋an)＋(a2＋an－1)＋…＋(an＋a1)， 由等差数列的性质得a1＋an＝a2＋an－1＝a3＋an－2＝…＝an＋a1， 所以有Sn＝　①. 又an＝a1＋(n－1)d，代入①式， 得Sn＝na1＋　②. 思考： (1)等差数列前n项和Sn的公式①与公式②有什么共同点和不同点？ 提示：分析Sn＝和Sn＝na1＋d两个公式可得，它们的共同点是都需要知道a1和n，不同点是公式Sn＝还需要知道an，公式Sn＝na1＋d还需要知道d，解题时需根据已知条件决定选用哪个公式． 当已知首项、末项和项数时，用公式①较为简便； 当已知首项、公差和项数时，用公式②较为简便． 在运用公式Sn＝时，注意结合等差数列的性质． (2)等差数列中，与相等吗？表示什么意义？ 提示：＝，表示等差数列前n项的平均数． [互动探究] [典例1]　根据给出条件求下列等差数列的前n项和． (1)a1＝1，a10＝21，n＝10； (2)a1＝100，d＝－2，n＝50； (3)a1＝2，an＝32，d＝2. 解：(1)由Sn＝， 知S10＝＝22×5＝110. (2)由Sn＝na1＋d，知S50＝50×100＋×(－2)＝2550. (3)∵an＝a1＋(n－1)d，∴32＝2＋(n－1)×2， 得n＝16，∴S16＝＝＝272. 等差数列的前n项和公式有两个，在解题时，要根据题目中所给的条件，合理进行选择．若已知a1，an，则选择公式Sn＝.若已知a1，d，则选择公式Sn＝na1＋d. [变式训练] 1．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a5＋a6＝a2＋5，则S17＝(　　) A．5　　 B．17　　　 C．85　　 D．170 解析：选C.因为等差数列{an}中，a5＋a6＝a2＋5， 所以a2＋a9＝a2＋5， 即a9＝5， 则S17＝＝17a9＝85. 2．已知数列{an}是等差数列且an>0，设其前n项和为Sn.若a1＋a9＝a，则S9＝(　　) A．36 B．27 C．18 D．9 解析：选C.由数列{an}是等差数列且an>0， a1＋a9＝a， ∴2a5＝a≠0，解得a5＝2. 则S9＝＝9a5＝18. 探究点二　与Sn有关的基本量的计算 [互动探究] [典例2]　在等差数列{an}中，已知d＝，an＝，Sn＝－，求a1和n. 解：由题意得解得 [典例3]　已知等差数列{an}的前5项之和为25，第8项等于15，求第21项． 解：设等差数列{an}的首项为a1，公差为d. 依题意，有 解得 所以a21＝a1＋20d＝1＋20×2＝41. [典例4]　已知等差数列{an}的前三项为a－1，4，2a，记前n项和为Sn. (1)设Sk＝2550，求a和k的值； (2)设bn＝，求b3＋b7＋b11＋…＋b4n－1的值． 解：设{an}的公差为d，由已知，得a1＝a－1，a2＝4，a3＝2a. 又2a2＝a1＋a3，∴8＝a－1＋2a，即a＝3， ∴a1＝2，d＝a2－a1＝2. (1)由Sk＝ka1＋d，得2k＋×2＝2550，即k2＋k－2550＝0，解得k＝50或k＝－51(舍去)， ∴a＝3，k＝50. (2)由Sn＝na1＋d，得Sn＝2n＋×2＝n2＋n， ∴bn＝＝n＋1. 又b3，b7，b11，…，b4n－1仍是等差数列，且共有n项， ∴b3＋b7＋b11＋…＋b4n－1＝＝＝2n2＋2n. a1，d，n称为等差数列的三个基本量，an和Sn都可以用这三个基本量来表示，五个量a1，d，n，an，Sn中可知三求二，即等差数列的通项公式及前n项和公式中“知三求二”的问题，一般是通过通项公式和前n项和公式联立方程(组)来求解．这种方法是解决数列运算的基本方法，在具体求解过程中应注意已知与未知的联系及整体思想的运用．　　 [变式训练] 3．在等差数列{an}中，若Sn为{an}的前n项和，2a7＝a8＋5，则S11的值是(　　) A．55　　 B．11　　　 C．50　　 D．60 解析：选A.设等差数列{an}的公差为d，