第一章 2.1 第2课时 等差数列的性质-【高考领航】2023-2024学年高中数学选择性必修第二册同步核心辅导与测评（北师大版）

第2课时　等差数列的性质 [素养目标]　1.掌握等差数列的图象和性质．　2.掌握等差中项的概念，会求等差中项．　3.能解决与等差数列有关的实际问题．　4.培养逻辑推理、数学运算的学科素养． 探究点一　等差数列的性质 [基础梳理] 1．等差数列的单调性与图象 (1)等差数列的图象． 由an＝dn＋(a1－d)，可知其图象是直线y＝dx＋(a1－d)上的一些等间隔的点，其中公差d是该直线的斜率． (2)从函数角度研究等差数列的性质与图象． 由an＝f(n)＝a1＋(n－1)d＝dn＋(a1－d)，可知其图象是直线y＝dx＋(a1－d)上的一些等间隔的点，这些点的横坐标是正整数，其中公差d是该直线的斜率，即自变量每增加1，函数值增加d. 当d>0时，{an}为递增数列，如图甲所示． 当d<0时，{an}为递减数列，如图乙所示． 当d＝0时，{an}为常数列，如图丙所示． 2．等差数列中项与序号的关系 若数列{an}是公差为d的等差数列，由等差数列的定义可知{an}具有如下性质： (1)an＝am＋(n－m)d(n，m∈N＋)，d＝(n≠m)，由此得an＝ap＋(n－p)d＝ap－aq(ap与aq是等差数列{an}中的任意两项，且p≠q)． 特别地，若ap＝q，aq＝p，则ap＋q＝0. (2)若m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq(m，n，p，q∈N＋)． 推广：若m＋n＋t＝p＋q＋r，则am＋an＋at＝ap＋aq＋ar(m，n，t，p，q，r∈N＋)． 特别地，若m＋n＝2p，则am＋an＝2ap(m，n，p∈N＋)． 3．由等差数列构成的新等差数列 (1)条件 {an}，{bn}分别是公差为d1，d2的等差数列． (2)结论 数列 结论 {c＋an} 公差为d1的等差数列(c为任一常数) {c·an} 公差为cd1的等差数列(c为任一常数) {an＋an＋k} 公差为2d1的等差数列(k为常数，k∈N＋) {pan＋qbn} 公差为pd1＋qd2的等差数列(p，q为常数) 思考： 　(1)已知等差数列任意两项求公差的几何意义是什么？ 提示：直线上任意两点求斜率． (2)等差数列{an}中，若m＋n＝p(m，n，p∈N＋)，则am＋an＝ap吗？ 提示：am＋an≠ap.不符合等差数列的性质． (3)等差数列{an}中，若m＋n为偶数，且m，n∈N＋，那么am＋an与a有什么关系？ 提示：＝a. [互动探究] [典例1]　已知{an}为等差数列，a15＝8，a60＝20，求a75. 解：(利用隔项成等差数列)因为{an}为等差数列． 所以a15，a30，a45，a60，a75也成等差数列，设其公差为d，a15为首项，则a60为第四项． 所以a60＝a15＋3d，得d＝4，所以a75＝a60＋d＝24. [典例2]　等差数列{an}中，a1＋3a8＋a15＝120，求2a9－a10的值． 解：由等差数列的性质得： a1＋3a8＋a15＝5a8＝120， ∴a8＝24，又2a9＝a8＋a10， ∴2a9－a10＝a10＋a8－a10＝a8＝24. [典例3]　数列{an}为等差数列，已知a2＋a5＋a8＝9，a3a5a7＝－21，求数列{an}的通项公式． 解：∵a2＋a8＝2a5，∴3a5＝9， ∴a5＝3，∴a2＋a8＝a3＋a7＝6，① 又a3a5a7＝－21， ∴a3a7＝－7.② 由①②解得a3＝－1，a7＝7或a3＝7，a7＝－1. ∴a3＝－1，d＝2或a3＝7，d＝－2. 由an＝a3＋(n－3)d， 得an＝2n－7或an＝－2n＋13. 等差数列性质的应用技巧 已知等差数列的两项和，求其余几项和或者求其中某项，对于这类问题，在解题过程中通常要考虑利用等差数列的性质，尤其要注意利用性质“若m，n，p，k∈N＋，且m＋n＝p＋k，则有am＋an＝ap＋ak，其中am，an，ap，ak是数列中的项．特别地，当m＋n＝2p时，有am＋an＝2ap”，从而将问题解决． [变式训练] 1．在等差数列{an}中，若a2＋a8＝10，则(a4＋a6)2－2a5＝(　　) A．100　　 B．90　　　 C．95　　 D．20 解析：选B.在等差数列{an}中，a2＋a8＝10. ∴a2＋a8＝2a5＝10，解得a5＝5. (a4＋a6)2－2a5＝(2a5)2－2a5＝100－10＝90. 2．已知{an}为等差数列，a4＋a7＋a10＝30，则a3－2a5的值为(　　) A．10 B．－10 C．15 D．－15 解析：选B.法一：设等差数列{an}的公差为d，则30＝(a1＋3d)＋(a1＋6d)＋(a1＋9d)＝3a1＋18d，即a1＋6d＝10.而a3－2a5＝(a1＋2d)－2(