第一章 2.1 第1课时 等差数列的概念-【高考领航】2023-2024学年高中数学选择性必修第二册同步核心辅导与测评（北师大版）

§2　等差数列 2．1　等差数列的概念及其通项公式 第1课时　等差数列的概念 [素养目标]　1.理解等差数列的概念．　2.掌握等差数列的判断方法．　3.会求等差数列的通项公式，会用通项公式解决问题．　4.培养数学抽象、逻辑推理的学科素养． 探究点一　等差数列的定义及应用 [基础梳理] 1．定义：从第2项起，每一项与它的前一项的差都是同一个常数的数列． 2．公差：这个常数叫作公差，通常用字母d表示． 3．符号语言：an＋1－an＝d(d为常数，n∈N＋)． 思考： (1)等差数列中前项减后项是同一个常数吗？这个常数是等差数列的公差吗？ 提示：是同一个常数，不是该数列的公差． (2)常数列是等差数列吗？如果是，它的公差是多少？ 提示：是等差数列，公差为0. (3)一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于常数，这个数列是等差数列吗？ 提示：不一定，只有当每一项与它的前一项的差等于“同一个常数”时才是等差数列． (4)为什么强调“从第2项起”？ 提示：第1项前面没有项，无法与后续条件中“与前一项的差”相吻合． [互动探究] [典例1]　判断下列数列是不是等差数列. ①9，7，5，3，…，－2n＋11，…； ②－1，11，23，35，…，12n－13，…； ③1，2，1，2，…； ④1，2，4，6，8，10，…； ⑤a，a，a，a，a，…. 解：由等差数列的定义，得①②⑤为等差数列，③④不是等差数列． [典例2]　已知数列{an}满足a1＝2，an＋1＝(n∈N＋)，bn＝(n∈N＋)， 求证：数列{bn}是等差数列，并求出首项和公差． 证明：法一：因为＝， 所以＝＋3，所以－＝3， 又因为bn＝(n∈N＋)，所以bn＋1－bn＝3(n∈N＋)，且b1＝＝. 所以数列{bn}是等差数列，首项为，公差为3. 法二：因为bn＝，且an＋1＝， 所以bn＋1＝＝＝＋3＝bn＋3， 所以bn＋1－bn＝3(n∈N＋)，b1＝＝. 所以数列{bn}是等差数列，首项为，公差为3. 1．给出了数列的通项公式，要判断是否为等差数列可以用定义法，也可以直接看通项公式是否为an＝kn＋b(k，b为常数，n∈N＋)的形式，若符合此形式则为等差数列，否则不是． 2．定义是判断一个数列是否为等差数列的重要依据，要证明一个数列为等差数列，可用an＋1－an＝d(常数)或它的等价命题，但若要说明一个数列不是等差数列，则只需举出反例． [变式训练] 1．已知数列{an}满足an＋1－an＝2，n∈N＋，且a3＝3，则a1＝________． 解析：因为an＋1－an＝2，n∈N＋， 所以a3－a2＝2，a2＝1，a2－a1＝2，a1＝－1. 答案：－1 2．判断下列数列是不是等差数列，并给出证明． (1)an＝4－2n； (2)an＝n2＋n. 解：(1)是等差数列． ∵an＋1－an＝4－2(n＋1)－(4－2n) ＝4－2n－2－4＋2n＝－2(常数)． ∴{an}是等差数列，且公差为－2. (2)不是等差数列． ∵a1＝2，a2＝6，a3＝12. ∴a2－a1≠a3－a2， ∴{an}不是等差数列． 探究点二　等差数列的通项公式及应用 [基础梳理] 等差数列的通项公式 如果等差数列{an}的首项为a1，公差为d，那么它的通项公式为an＝a1＋(n－1)d． 思考： (1)要求等差数列的通项公式，需要求哪些基本量？ 提示：首项a1，公差d. (2)等差数列的通项公式与一次函数有怎样的关系？ 提示：由于an＝a1＋(n－1)d＝dn＋(a1－d)，所以当d≠0时，等差数列{an}的第n项an是一次函数f(x)＝dx＋(a1－d)(x∈R)，当x＝n时的函数值，即an＝f(n)． 反之，任给一次函数f(x)＝kx＋b(k，b为常数)，则f(1)＝k＋b，f(2)＝2k＋b，…，f(n)＝nk＋b，…构成一个等差数列{nk＋b}，其首项为k＋b，公差为k. [互动探究] [典例3]　已知{an}为等差数列，若a2＝2a3＋1，a4＝2a3＋7，则a5＝(　　) A．1　　　　 B．2　　　　　 C．3　　　　 D．6 解析：∵{an}为等差数列，a2＝2a3＋1，a4＝2a3＋7，设首项为a1，公差为d， ∴ 解得a1＝－10，d＝3， ∴a5＝a1＋4d＝－10＋12＝2. 答案：B [典例4]　在等差数列{an}中，已知a4＝7，a10＝25，求通项公式an. 解：设等差数列{an}的首项为a，公差为d， ∵a4＝7，a10＝25， 则得 ∴an＝－2＋(n－1)×3＝3n－5， ∴通项公式an＝3n－5(n∈N＋)． [典例5]　等差数列{an}中，已知a3＝10，a12＝31. (1)求a1，d及通项公式an； (2)45和85是不是该数列中的项？若