3.1椭圆讲义（椭圆与椭圆的标准方程+椭圆的简单几何性质）-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

第2讲 椭圆的标准方程及简单几何性质 一、知识清单 1．椭圆的定义 平面内与两个定点的距离的和等于常数（>）的点的轨迹叫做椭圆． 这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距，焦距的一半称为半焦距． 定义拓展： (1)椭圆定义中将“大于|F1F2|”改为“等于|F1F2|”的常数，其他条件不变，点的轨迹是线段F1F2。 (2)椭圆定义中将“大于|F1F2|”改为“小于|F1F2|”的常数，其他条件不变，动点的轨迹不存在。 （※※※）椭圆方程的推导（了解）： 建立平面直角坐标系，如图所示，此时,椭圆的焦点分别为（ ,0）的标准方程 =2. ① ①，我们将其左边一个根式移到右边，得得 对方程两边平方，得 = 整理，得= ③ 对方程③两边平方，得 = 整理得 ④ 将方程④两边同除以，得 ⑤ 由椭圆的定义可知>>0 ，即>>0，所以. 令,那么方程⑤可写作 (>>0) ⑥ 称焦点在轴上的椭圆方程. 2． 椭圆的标准方程与几何性质 区别焦点在哪个轴：焦点在x轴上⇔标准方程中x2项的分母较大；焦点在y轴上⇔标准方程中y2项的分母较大. 标准方程 图象 范围 焦点 焦距 顶点 左右顶点 上下顶点 左右顶点 上下顶点 长轴、短轴 长轴，短轴 对称性 原点，轴，轴 离心率 离心率表示椭圆的扁平程度． 当e越接近于1时，c越接近,椭圆越扁； 当e越接近于0时，c越接近0,椭圆越圆。 通径（※） （过焦点且垂直于长轴的弦） 准线方程（※） 三、常用方法 椭圆中的焦点三角形与焦半径 x y O F1 F2 M N θ α β 在焦点三角形中，设，，， 1．焦点三角形 （1）的周长为； （2）的周长为； （3）； （4）当为椭圆上顶点时，最大，最大，最大； 2．焦半径（椭圆上一点到焦点的距离） （1）焦半径最大值为，最小值为，最大值为，最小值为； （2）已知是椭圆上任一点，点到左焦点对应的左准线的距离为，点到右焦点对应的右准线的距离为，则有．（椭圆的第二定义），则焦半；3.（※※※）椭圆的第二定义：椭圆上任意一点到焦点距离与该点到相应准线距离的比等于离心率e 点与椭圆的位置关系 焦点在x轴上 焦点在y轴上 点在椭圆内 点在椭圆上 点在椭圆外 直线与椭圆的位置关系 1、直线与椭圆的位置关系： 联立消去y得一个关于x的一元二次方程． ①直线和椭圆相交直线和椭圆有两个交点(或两个公共点）； ②直线和椭圆相切直线和椭圆有一个切点(或一个公共点)； ③直线和椭圆相离直线和椭圆无公共点． 2、解决直线与圆锥曲线相交问题的常用步骤： （1）得出直线方程，设交点为，； （2）联立直线与曲线方程，得到关于x（或y）的一元二次方程； （3）写出根与系数的关系； （4）将所求问题或题中关系转化为关于，的形式； （5）代入求解． 直线与椭圆相交的弦长公式 1、定义：连接椭圆上两个点的线段称为椭圆的弦． 2、求弦长的方法 （1）交点法：将直线的方程与椭圆的方程联立，求出两交点的坐标，然后运用两点间的距离公式来求． （2）根与系数的关系法： 如果直线的斜率为k，被椭圆截得弦AB两端点坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)， 则弦长公式为： 解决椭圆中点弦问题的两种方法 1、根与系数关系法：联立直线方程和椭圆方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决； 2、点差法：利用交点在曲线上，坐标满足方程，将交点坐标分别代入椭圆方程，然后作差，构造出中点坐标和斜率的关系，具体如下：直线(不平行于轴)过椭圆()上两点、，其中中点为，则有。 证明：设、，则有， 上式减下式得，∴， ∴，∴。 特殊的：直线(存在斜率)过椭圆()上两点、，线段中点为，则有。 3、 经典讲解 1.已知点，动点满足，则动点的轨迹是（ ） A．椭圆 B．直线 C．线段 D．圆 2.若动点满足方程，则动点P的轨迹方程为（ ） A． B． C． D． 3.经过两点，的椭圆的离心率为（ ） A． B． C． D． 4.（多选）关于椭圆有以下结论，其中正确的有（ ） A．离心率为 B．长轴长是 C．焦距2 D．焦点坐标为 5.如果方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是（ ） A． B． C．或 D．且 6.已知点P是圆上的动点，作轴于点H，则线段PH的中点M的