3.2 函数的基本性质讲义-2023-2024学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

第07讲 函数的基本性质 【必备知识】 一、函数的单调性 1.单调性的定义 增函数 减函数 定义 一般地,设函数的定义域为,如果对于定义域内某个区间上的任意两个自变量的值,[ 当时,都有,那么就说函数在区间上是增函数 当时,都有,那么就说函数在区间上是减函数 图象描述 自左向右看,图象是上升的 自左向右看,图象是下降的 温馨提示：定义中的有以下3个特征 （1）任意性,即“任意取”中“任意”二字绝不能去掉,证明时不能以特殊代替一般； （2）有大小,通常规定；（3）属于同一个单调区间． 2．函数的单调区间 如果函数在区间上单调递增或单调递减,那么就说函数在这一区间上具有(严格的)单调性,区间叫做函数的单调区间． 温馨提示： （1）函数的单调性是对定义域内某个区间而言的,它是函数的一个局部性质． （2）函数在定义域的某个区间上单调,不一定在定义域上单调．如等． （3）并非所有的函数都具有单调性,如,它的定义域是,但不具有单调性． 3．函数单调性的判断 （1）函数递增 （2）函数递减 （3）复合函数单调性判断：一般地对于复合函数,如果在上是单调函数,并且在或者上也是单调函数,那么在上的单调性如下表所示,简记为“同增异减” 4.单调性常用结论 （1）； （2）； （3）； （4）； （5）负号和倒数改变单调性，根号维持单调性. 2、 函数的奇偶性 1.奇偶性的定义 奇偶性 定义 图象特点 偶函数 如果对于函数的定义域内任意一个，都有 图象关于轴对称 奇函数 如果对于函数的定义域内任意一个，都有 图象关于原点对称 注意：（1）奇偶性是函数的整体性质，所以判断函数的奇偶性应先明确它的定义域； （2）奇偶函数的定义域关于原点对称，反之，若定义域不关于原点对称，则这个函数一定不具有奇偶性． 2.奇偶函数的性质 （1）若一个奇函数在原点处有定义，即有意义，则一定有. （2）若是奇函数，则在其关于原点对称的区间上单调性一致． （3）若是偶函数，则在其关于原点对称的区间上单调性相反． （4），在它们的公共定义域上有下面的结论： 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 奇函数 不能确定 奇函数 偶函数 奇函数 偶函数 不能确定 奇函数 偶函数 奇函数 奇函数 奇函数 偶函数 奇函数 3.奇偶函数的判断方法 （1）看：看函数定义域是否关于原点对称 （2）求：求； （3）比较：比较与的等量关系； （4）结论：根据比较的结果下结论 三、扩展 1.对勾函数与飘带函数图像： 对勾函数（） 飘带函数（） 2.函数的对称性 （1）关于轴对称 （2）关于中心对称 课堂精练 1.下列函数在区间上为增函数的是（    ） A． B． C． D． 2.下列函数是奇函数的是（     ） A． B． C． D． 3.函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 4.下列函数在定义域上既是奇函数又是减函数的是（    ）. A． B． C． D． 5.(多选)关于函数，下列说法正确的是（　　） A．定义域为 B．是偶函数 C．在上递减 D．图象关于原点对称 6.设函数，则下列函数中为奇函数的是（     ） A． B． C． D． 7.“函数在上为增函数”是“”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 8.对任意两个实数，定义，若，则下列关于函数的说法正确的是（    ） A．函数是奇函数 B．函数在区间上单调递增 C．函数图像关于轴对称 D．函数最大值为2 9.已知函数为R上的奇函数，当时，，则当时，的解析式为（    ） A． B． C． D．以上都不对 10.函数是定义在上的偶函数，在区间上是减函数，且，则不等式的解集为（     ） A． B． C． D． 11.设函数是R上的奇函数，当时，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 12.(多选)设函数，当为上增函数时，实数a的值可能是（    ） A．－1 B．－2 C．－3 D．－4 13.函数的值域为 ． 14.已知函数的定义域为，对任意的、，且都有成立，若对任意恒成立，则实数的取值范围是 ． 15．已知函数的图象过点. (1)求实数m的值，并判断的奇偶性； (2)判断函数在上的单调性，并证明你的结论. 16.定义在上的函数满足对任意，，恒有，且时，有． (1)证明：为奇函数； (2)试判断的单调性，并加以证明； (3)若，不等式恒成立，求实数的取值范围． 17.设函数. （1）请判断并证明的奇偶性； （2）当时，若，且在上的最小值