上海市松江二中2023-2024学年高二上学期10月考数学试题

松江二中2023学年第一学期10月考（高二数学） 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1．已知复数满足（为虚数单位），则 . 2. 已知向量，，若 ，则实数 ． 3．设等比数列的公比为2，前项和为，若，则 ． 4. 已知a，b为两条不同的直线，α为一个平面，且a∥α，b⊂α，则直线a与b的位置关系是_________. 5．已知角的大小为150°，且异面直线a、b分别与角的两边平行，则异面直线a、b所成角的大小为__________． 6. 在正方体中，二面角的大小是__________． 7. 设为正整数，已知点列在函数的图像上，若，，则实数k的值为_______. 8．自平面外一点向平面引垂线段及两条斜线段，它们在平面内的射影长分别为2和12，且这两条斜线与平面所成角相差45°，则垂线段的长为__________． 9. 已知平面内的角，线段是平面的斜线段且，，那么点到平面的距离是_______ 10. 如图，在长方体中，，，为的中点，过的平面分别与棱，交于点E，F，且，则截面四边形的面积为 . 11. 如图，正方体的棱长为2，E，F分别为，的中点，P是底面上一点．若平面BEF，则AP与平面所成角的正弦值的取值范围是 ． 12.空间给定不共面的A，B，C，D四个点，其中任意两点间的距离都不相同，考虑具有如下性质的平面：A，B，C，D中恰有三个点到的距离相同，另一个点到的距离是前三个点到的距离的2倍，这样的平面的个数是_______个. 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分） 13．已知，是异面直线，，是两个不同的平面，且，，则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 14．在中，角所对的边分别为，若，则为（  C ） A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形 15．从正方体八个顶点的两两连线中任取两条直线a，b，且a，b是异面直线，则a，b所成角的余弦值的所有可能取值构成的集合是（     ） A． B． C． D．． 16．已知正方体，点分别是线段和上的动点，观察直线与，与给出下列结论： ①对于任意给定的点，存在点，使得； ②对于任意给定的点，存在点，使得； ③对于任意给定的点，存在点，使得； ④对于任意给定的点，存在点，使得． 其中正确的结论是（  ） A． ① B．②③ C．①④ D．②④ 三、解答题(本大题共有5题，满分78分)解答下列各题必须写出必要的步骤． 17.(本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分) 如图，在长方体中，，，点P为棱上一点. (1)试确定点P的位置，使得平面，并说明理由； (2)在（1）的条件下，求异面直线与所成角的大小. 18.(本小题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分) 已知向量，． (1)若，且，求x的值； (2)设，求函数在上的最大值和最小值． 19.(本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分) 如图所示，四面体中，已知平面平面，，，，． （1）求证：． （2）若二面角的大小为，求直线与平面所成的角的正弦值． 20.（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分) 如图,在梯形ABCD中,AD//BC,∠ABC=，,∠ADC=，PA⊥平面ABCD且PA=. （1）求直线AD到平面PBC的距离； （2）求二面角的大小； （3）在线段AD上是否存在一点F,使点A到平面PCF的距离为? 21.（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分) 设同时满足以下两个条件的有穷数列（）为n阶“期待数列”： ①； ②． （1）分别写出一个严格增的3阶和4阶“期待数列”； （2）设为给定的正整数，若某阶“期待数列”是等差数列，求该数列的通项公式； （3）记n阶“期待数列”的前k项和为； （ⅰ）求证：； （ⅱ）若存在使，试问数列能否为n阶“期待数列”？若能，求出所有这样的数列；若不能，请说明理由． 松江二中2023学年第一学期10月考（高二数学）答案 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1．已知复数满足（为虚数单位），则 . 2. 已知向量，，若 ，则实数 ． 3．设等比数列的公比为2，前项和为，若，则 ． 4. 已知a，b为两条不同的直线，α为一个平面，且a∥α，b⊂α，则直线a与b的位置关系是_________. 平行或异面 5．已知角的大小为150°，且异面直线a、