3.1.2 椭圆的简单几何性质（第1课时）-2023-2024学年高二数学教材配套教学精品课件（人教A版2019选择性必修第一册)

3.1.2 椭圆的简单几何性质（第1课时） 第 三 章 圆锥曲线的方程 人教A版2019选修第一册 学习目标 1.根据椭圆的方程研究椭圆的几何性质. 2．了解离心率对椭圆扁平程度的影响，培养数学运算的核心素养． 3. 根据几何条件求出椭圆的方程． 4.掌握椭圆标准方程中的a，b以及c，e的几何意义，a，b，c，e之间的相互关系. 01导入 PART ONE 复习导入 b2＋c2 复习导入 与利用直线的方程、圆的方程研究它们的几何性质一样，我们利用椭圆的标准方程研究椭圆的几何性质，包括椭圆的范围、形状、大小、对称性和特殊点等. 下面，我们用椭圆方程 来研究椭圆的几何性质. 02椭圆的简单的几何性质 PART ONE 椭圆的简单几何性质 探究： 观察椭圆 的形状, 你能从图上看出它的范围吗? 它具有怎样的对称性? 椭圆上哪些点比较特殊? F1 F2 O x y A1 A2 B1 B2 • • 椭圆的简单几何性质 思考1：容易看出椭圆上的点都在一个特定的矩形内，你能利用方程（代数法）确定出它的具体边界吗？ F1 F2 O x y A1 A2 B1 B2 • • 用代数方法研究曲线的范围，就是利用方程确定曲线上点的横、纵坐标的取值范围 范围 椭圆的简单几何性质 思考2：观察椭圆形状，可以发现椭圆既是轴对称图形，又是中心对称图形.如何利用方程说明椭圆的对称性？ y x O P（x，y） P1（-x，y） P2（-x，-y） 把(x)换成(-x),方程不变,说明椭圆关于( )轴对称； 把(y)换成(-y),方程不变,说明椭圆关于( )轴对称； 把(x)换成(-x), (y)换成(-y),方程还是不变,说明椭圆关于( )对称； y x 原点 坐标轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称中心。 对称性 椭圆的简单几何性质 顶点 思考3：你认为椭圆上哪些点比较特殊？为什么？如何得到这些点的坐标？ F1 F2 O x y A1 A2 B1 B2 • • 说明椭圆与y轴有两个交点, 坐标分别为 A1(－a,0), A2(a,0). 说明椭圆与x轴有两个交点, 坐标分别为 所以椭圆与它的对称轴有四个交点, 这四个交点叫做椭圆的顶点. 所以椭圆与它的对称轴有四个交点, 这四个交点叫做椭圆的顶点. 线段A1A2, B1B2分别叫做椭圆的长轴和短轴，它们的长分别等于2a, 2b. a和b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长. 椭圆与坐标轴有四个交点，这四个点比较特殊. 椭圆的简单几何性质 离心率 思考4： 观察图形，我们发现，不同椭圆的扁平程度不同. 扁平程度是椭圆的重要形状特征，你能用适当的量定量刻画椭圆的扁平程度吗? 如右图示，椭圆 的长半轴长为a, 半焦距为c. 利用信息技术发现, 保持长半轴长a不变, 改变椭圆的半焦距c, 可以发现, c越接近a, 椭圆越扁平. 类似地, 保持c不变, 改变a的大小, 则a越接近c, 椭圆越扁平; 而当a, c扩大或缩小相同倍数时, 椭圆的形状不变. 这样, 利用c和a这两个量, 可以刻画椭圆的扁平程度. 椭圆的简单几何性质 我们]把椭圆的焦距与长轴长的比 称为椭圆的离心率，用 e 表示，即 (1) 离心率的取值范围： ① e 越接近 1，c 就越接近 a，从而 b就越小，椭圆就越扁； ② e 越接近 0，c 就越接近 0，从而 b就越大，椭圆就越圆； ③离心率越小，椭圆越圆，离心率越大，椭圆越扁. ④ 特例：e = 0，则 a = b，则 c = 0，两个焦点重合，椭圆变成圆. 说明： (2) 离心率对椭圆形状的影响： 因为a > c > 0，所以0 < e < 1. 离心率 椭圆的简单几何性质 2b 2a x轴、y轴 (0，0) 03性质应用 PART ONE 椭圆的简单几何性质 例1 求椭圆16x2+25y2=400的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标. 椭圆的简单几何性质 椭圆的简单几何性质 椭圆的简单几何性质 椭圆的简单几何性质 椭圆的简单几何性质 方法总结 椭圆的简单几何性质 椭圆的简单几何性质 椭圆的简单几何性质 椭圆的简单几何性质 例3.已知F1，F2是椭圆的两个焦点，过F1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A，B两点，若△ABF2是正三角形，求该椭圆的离心率． 解：不妨设椭圆的焦点在x轴上，因为AB⊥F1F2，且△A