3.1.2函数的单调性（第二课时）-【高效课堂】2023-2024学年高一数学同步精讲课件（人教B版2019必修第一册）

3.1.2函数的单调性（2） 我们在物理中已经学习过：变化率是描述变化 快慢的量.例如，速度是是用来衡量物体运动快 慢的，速度等于位移的变化量与发生这一变化 所用时间的比值，即. 那么在数学中，这种变化率有什么含义呢?这节课 我们一起来学习一下吧. 1.理解函数的平均变化率与函数的单调性之间关系；（重点） 2.会用函数的平均变化率判断及证明函数的单调性.（难点） 探究点1 直线的斜率 思考1：设直线任意两点,,()，则有 , . 两式作差整理得，斜率 . 若记,,则 直线得斜率反映了直线相对于轴的倾斜程度 当时， 斜率不存在. x y o x1 x2 A B x y o x1 x2 C D 思考2：如图，判断直线与直线的斜率的正负，并说明理由. 【解析】直线斜率大于零. 因为, 所以. 直线的斜率小于零. 因为,而 所以. 由函数的定义可知，任何一个函数图象上的两个点，它们所确定的直线的斜率一定存在.因此，我们可以用直线的斜率来研究函数的单调性. 探究点2 函数的平均变化率与函数单调性 思考1：观察下列函数图象上两点连线的斜率的符号与函数单调性之间有什么关系? 【提示】图（1）中AB两点连线的斜率大于零，函数单调递增； 图（2）中AB两点连线的斜率小于零，函数单调递减. 一般地,若是函数的定义域的子集,对任意， 记（即），则 (1)在上是增函数的充要条件是 ; (2)在上是减函数的充要条件是 . 思考2：你能用符号表示表示出这种关系吗？ 在上恒成立 在上恒成立 注：与同号 时，或时， 由函数单调性定义可知，此时为增函数.反之仍然成立. 与异号 时，或时， 由函数单调性定义可知，此时为减函数.反之仍然成立. 函数的平均变化率 一般地,当时时，称 为函数在区间（时）或（时）上的平均变化率. 几何意义：表示曲线上 两点 A,B连线的斜率 O x y y=f(x) A B 即时练习：1.如图，函数在上的平均变化率为 . 2.向一个容器(如图①②③所示)中倒水,且任意相等的时间间 隔内所倒的水体积相等,记容器内水面的高度随时间变化的 函数为,则在以下函数图像中,分别找出图①②③可能 对应的图像. A C D 例1.求证：函数在区间和上都是减函数. 【解析】设，那么 如果,,则,此时,所以函数在上是减函数.同理，函数在上也是减函数. 例2.判断一次函数()的单调性. 【解析】设，那么 因此，当时，一次函数在上是增函数； 当时，一次函数在上是减函数. 一次函数的单调性 取决于的符号 例3.证明函数在上是减函数，在上是增函数，并求这个函数的最值. 【解析】设，那么 因此，当时，有,从而, 所以在上是减函数； 当时，有,从而, 所以在上是增函数. 由的单调性可知，当时，有最小值,无最大值. 跟踪训练.证明函数在上是增函数，在上是减函数，并求这个函数的最值. 【解析】设，那么 因此，当时，有,从而, 所以在上是增函数； 当时，有,从而, 所以在上是减函数. 由的单调性可知，当时，有最大值,无最小值. 二次函数单调性判定及最值求法 对形如的二次函数，定义域为，其单调性与开口方向()和对称轴()均有关： (1)时，开口向上，在上是减函数，在上是增函数，在对称轴处取得最小值，无最大值. (2)时，开口向下，在上是增函数；在上是减函数，在对称轴处取得最大值，无最小值. 【总结】 取 值 → 作 差 →计算平均变化率变 形 → 定 号 → 下结论 证明 步骤 函数的单调性 增函数 减函数 函数的平 均变化率 $$