专题23 椭圆的简单几何性质10种常见考法归类 - 【考点通关】2023-2024学年高二数学高频考点与解题策略(人教A版2019选择性必修第一册)

专题23 椭圆的简单几何性质10种常见考法归类 1、椭圆的简单几何性质 焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 标准方程 ＋＝1(a>b>0) ＋＝1(a>b>0) 范围 －a≤x≤a且－b≤y≤b －b≤x≤b且－a≤y≤a 顶点 A1(－a,0)，A2(a,0)， B1(0，－b)，B2(0，b) A1(0，－a)，A2(0，a)， B1(－b,0)，B2(b,0) 轴长 短轴长＝2b，长轴长＝2a 焦点 F1(－c,0)，F2(c,0) F1(0，－c)，F2(0，c) 焦距 |F1F2|＝2c 对称性 对称轴x轴和y轴，对称中心(0,0) 离心率 e＝(0<e<1) 注：（1）如图所示，椭圆中的△OF2B2，a＝|F2B2|，b＝|OB2|， c＝|OF2|，e＝＝＝cos∠OF2B2(或sin∠OB2F2)． （2）或的大小能刻画椭圆的扁平程度． ①当→1时，b→a，椭圆越圆；当→0时，b→0，椭圆越扁． ②当→0时，c→0，此时b→a，椭圆越圆； 当→＋∞时，b→0，此时c→a，椭圆越扁． 2、点P(x0，y0)与椭圆＋＝1(a>b>0)的位置关系： 点P在椭圆上⇔＋＝1； 点P在椭圆内部⇔＋<1； 点P在椭圆外部⇔＋>1. 3、直线与椭圆的位置关系 直线y＝kx＋m与椭圆＋＝1(a>b>0)的位置关系判断方法：联立消元得到一个一元二次方程. 位置关系 解的个数 Δ的取值 相交 两个解 Δ>0 相切 一个解 Δ＝0 相离 无解 Δ<0 4、直线与椭圆相交所得的弦长问题 设直线l：y＝kx＋b(k≠0，b为常数)与椭圆＋＝1 (a>b>0)相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则线段AB叫做直线l被椭圆截得的弦，线段AB的长度叫做弦长．此时有以下弦长公式成立： |AB|＝·，或|AB|＝·. 5、由椭圆的标准方程研究几何性质 （1）已知椭圆的方程讨论性质时，若不是标准形式的先化成标准形式，再确定焦点的位置，进而确定椭圆的类型． （2）焦点位置不确定的要分类讨论，找准a与b，正确利用a2＝b2＋c2求出焦点坐标，再写出顶点坐标．同时要注意长轴长、短轴长、焦距不是a，b，c，而应是2a,2b,2c. 6、利用椭圆的几何性质求标准方程的思路 利用椭圆的几何性质求椭圆的标准方程时，通常采用待定系数法，其步骤是： (1)确定焦点位置； (2)设出相应椭圆的标准方程(对于焦点位置不确定的椭圆可能有两种标准方程)； (3)根据已知条件构造关于参数的关系式，利用方程(组)求参数．列方程(组)时常用的关系式有b2＝a2－c2，e＝等．　　　　 7、求椭圆离心率或其取值范围的基本方法 （1）当题中出现焦点三角形三边关系时，可以直接利用定义e＝求解.另外，易求b，c或b，c的关系时，可利用e＝求解；易求a，b或a，b的关系时，可利用e＝＝求解. （2）根据条件及几何图形建立a，b，c，e满足的关系式，化为a，c的齐次方程或不等式，列式时常用b＝代替式子中的b，然后将等式或不等式两边同时除以a的n次方（一般除以a或a2），从而利用e＝转化为含e的方程或不等式，解方程或不等式即可，此时要注意0<e<1. 8、直线与椭圆的位置关系判定 判断直线与椭圆的位置关系时，一般的解法是：联立椭圆的方程与直线的方程，由Δ的符号判断它们的交点个数，但是这样的计算量是比较大的，所以我们可以利用直线的某些特征，如过定点等，把“直线与椭圆的位置关系”问题转化为“点与椭圆的位置关系”，这样就能简化问题，同学们可以比较一下上述两种解法，试试谁更简单. 9、弦长问题 将直线方程与椭圆方程联立，得到关于x的一元二次方程，然后运用韦达定理，找到根与系数的关系，再求弦长.不必具体求出方程的根，即不必求出直线与椭圆的交点.这种方法是求弦长常采用的方法. 10、解决椭圆的中点弦问题的两种方法 （1）联立方程法，通过联立直线方程与椭圆方程得方程组，利用一元二次方程根与系数的关系及中点坐标公式求解. （2）点差法，设直线与椭圆的交点（弦的端点）坐标为A（x1，y1），B（x2，y2），将这两点分别代入椭圆的方程，两方程作差，得到一个与弦AB的中点（x0，y0）和斜率kAB有关的式子，这种方法可以大大减少运算量.我们称这种代点作差的方法为“点差法”，事实上就是椭圆的垂径定理. 利用kAB＝＝－＝－，转化为中点（x0，y0）与直线AB的斜率之间的关系，这是处理弦中点轨迹问题的常用方法. 11、解决椭圆的实际问题的基本步骤 (1)认真审题，理顺题中的各种关系，如等量关系． (2)结合所给图形及题意建立适当的平面直角坐标系． (3)利用椭圆知识及其他相关知识求解．　　　　 12、求与椭