第23章 解直角三角形（压轴必刷30题7种题型专项训练）-【满分全攻略】2023-2024学年九年级数学同步讲义全优学案（沪科版）

第23章 解直角三角形（压轴必刷30题7种题型专项训练） 一．锐角三角函数的定义（共2小题） 1．（2022•淮北模拟）在△ABC中，BC＝2AB＝12，∠ABC＝α，BD是∠ABC的角平分线，以BC为斜边在△ABC外作等腰直角△BEC，连接DE． （1）求证：CD＝2AD； （2）当α＝90°时，求DE的长； （3）当0°＜α＜180°时，求DE的最大值． 2．（2012•芜湖县校级自主招生）学习过三角函数，我们知道在直角三角形中，一个锐角的大小与两条边长的比值相互唯一确定，因此边长与角的大小之间可以相互转化． 类似的，可以在等腰三角形中建立边角之间的联系，我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对（sad）．如图，在△ABC中，AB＝AC，顶角A的正对记作sadA，这时sadA＝．容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的． 根据上述对角的正对定义，解下列问题： （1）sad60°的值为 　 　． A． B．1 C．D．2 （2）对于0°＜A＜180°，∠A的正对值sadA的取值范围是 　 　． （3）已知sinA＝，其中∠A为锐角，试求sadA的值． 二．锐角三角函数的增减性（共1小题） 3．（2022秋•霍邱县月考）如图，已知∠ABC和射线BD上一点P（点P与点B不重合），且点P到BA、BC的距离为PE、PF． （1）若∠EBP＝40°，∠FBP＝20°，PB＝m，试比较PE、PF的大小； （2）若∠EBP＝α，∠FBP＝β，α，β都是锐角，且α＞β．试判断PE、PF的大小，并给出证明． 三．解直角三角形（共1小题） 4．（2021•大观区校级二模）现有一张宽为12cm练习纸，相邻两条格线间的距离均为0.8cm．调皮的小聪在纸的左上角用印章印出一个矩形卡通图案，图案的顶点恰好在四条格线上（如图），测得∠α＝32°． （1）求矩形图案的面积； （2）若小聪在第一个图案的右边以同样的方式继续盖印（如图），最多能印几个完整的图案？ （参考数据：sin32°≈0.5，cos32°≈0.8，tan32°≈0.6） 四．解直角三角形的应用（共7小题） 5．（2020秋•金安区校级期末）如图（1）是一种简易台灯，在其结构图（2）中灯座为△ABC（BC伸出部分不计），A、C、D在同一直线上．量得∠ACB＝90°，∠A＝60°，AB＝16cm，∠ADE＝135°，灯杆CD长为40cm，灯管DE长为15cm． （1）求DE与水平桌面（AB所在直线）所成的角； （2）求台灯的高（点E到桌面的距离，结果精确到0.1cm）． （参考数据：sin15°＝0.26，cos15°＝0.97，tan15°＝0.27，sin30°＝0.5，cos30°＝0.87，tan30°＝0.58．） 6．（2023•庐阳区校级一模）由于发生山体滑坡灾害，武警救援队火速赶往灾区救援，探测出某建筑物废墟下方点C处有生命迹象．在废墟一侧地面上探测点A、B相距2米，探测线与该地面的夹角分别是30°和60°（如图所示），试确定生命所在点C的深度．（参考数据：≈1.414，≈1.732，结果精确到0.1） 7．（2023•合肥一模）2022年6月5日，“神舟十四号”载人航天飞船搭载“明星”机械臂成功发射．如图是处于工作状态的某型号手臂机器人示意图，OA是垂直于工作台的移动基座，AB、BC为机械臂，OA＝1m，AB＝5m，BC＝2m，∠ABC＝143°．机械臂端点C到工作台的距离CD＝6m． （1）求A、C两点之间的距离； （2）求OD长． （结果精确到0.1m，参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，≈2.24） 8．（2021秋•怀宁县期末）为了测量一条两岸平行的河流宽度，三个数学研究小组设计了不同的方案，他们在河南岸的点A处测得河北岸的树H恰好在A的正北方向．测量方案与数据如下表： 课题 测量河流宽度 测量工具 测量角度的仪器，皮尺等 测量小组 第一小组 第二小组 第三小组 测量方案示意图 说明 点B，C在点A的正东方向 点B，D在点A的正东方向 点B在点A的正东方向，点C在点A的正西方向 测量数据 BC＝60 m，∠ABH＝70°，∠ACH＝35°． BD＝20 m，∠ABH＝70°，∠BCD＝35°． BC＝101 m，∠ABH＝70°，∠ACH＝35°． （1）哪个小组的数据无法计算出河宽？ （2）请选择其中一个方案及其数据求出河宽（精确到0.1 m）；（参考数据：sin70°≈0.94，sin35°≈0.57，tan70°≈2.75，tan35°≈0.70） （3）计算的结果和实际河宽有误差，请提出一条减小误差的合理化建议． 9