13.3.2.2含30°角的直角三角形的性质（同步课件）-2023-2024学年八年级数学上册同步精品课堂（人教版）

第13章 轴对称 八年级数学上册同步精品课堂（人教版） 人教版 数学 八年级 上册 BY YUSHEN BY YUSHEN 13.3.2.2 含30°角的直角 三角形的性质 BY YUSHEN BY YUSHEN 情景引入 如图是某商场的电梯，电梯AB的倾斜角为30°，大厅两层之间 的高度BC为6 m.你能算出电梯AB的长度吗? 思考： B A C 30° BY YUSHEN BY YUSHEN 新知探究 思考： 如图，在Rt△ABC中，∠BCA =90°，如果∠A=30°，那么直角边 BC与斜边AB有什么关系呢? C B A 30° 活动一：测量 第一次 第二次 第三次 AB BC 活动二：大胆假设 活动三：结论证明 在Rt△ABC中，若∠A=30°，则BC＝ AB. BY YUSHEN BY YUSHEN 新知探究 含 30° 角的直角三角形的性质 在直角三角形中，如果一个锐角等于 30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半. A B C D 即 BC = CD = BD = AB. 性质： 应用格式： 在 Rt△ABC 中，∵∠C = 90°，∠A = 30°， ∴ BC = AB. BY YUSHEN BY YUSHEN 新知探究 证明方法一：截长法 ) 证明：在 BA 上截取 BE = BC，连接 EC. ∵∠B = 60°，BE = BC， ∴△BCE 是等边三角形. ∴∠BEC = 60°，BE = EC. ∵∠A = 30°， ∴∠ECA =∠BEC -∠A = 60° - 30°= 30°. ∴ AE = EC. ∴ AE = BE = BC. ∴ AB = AE + BE = 2BC. E A B C ∴ BC = AB. 30° BY YUSHEN BY YUSHEN 新知探究 证明方法二：中线法 证明：取线段 AB 的中点 D，连接 CD. ∵ CD 为 Rt△ABC 斜边 AB 上的中线， A 30° B C D ∵∠BCA = 90°，且∠A = 30°， ∴∠B = 60°. ∴△CBD 为等边三角形. BY YUSHEN BY YUSHEN 新知探究 证明方法三：倍长法 证明：在△ABC 中， ∵∠ACB = 90°，∠BAC = 30°， ∴∠B = 60°． 延长 BC 到 D，使 BD = AB，连接 AD， 则△ABD 是等边三角形． A B C D ∴ BC = BD = AB. 30° ) BY YUSHEN BY YUSHEN 新知探究 思考： 如图，在Rt△ABC中，∠BCA＝90°，若BC= AB， 那么∠A＝30°吗？ C B A D 解: 如图，取线段AB的中点D，连接CD. ∵CD是Rt△ABC斜边AB上的中线, ∴CD= AB=BD. ∵BC= AB， ∴BC= BD= CD，即△BDC为等边三角形. ∴∠B= 60°. ∵∠A+∠B=90° ∴∠A=30°. 由此你能得出什么结论？ BY YUSHEN BY YUSHEN 新知探究 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半. 在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30°. 互为逆命题 BY YUSHEN BY YUSHEN 典例精析 例1 如图是某商场的电梯，电梯AB的倾斜角为30°，大厅两层之间 的高度BC为6 m.你能算出电梯AB的长度吗? B A C 30° 解：在 Rt△ABC 中，∵∠C = 90°，∠A = 30°， ∴ AB=2BC=12m. BY YUSHEN BY YUSHEN 典例精析 例2 如图，在△ABC中，已知∠ACB=90°，CD垂直于AB，垂足为点D，∠A=30°.求证: AB=4BD. 解：在Rt△ABC中，∵∠A=30°， ∴BC= AB. 又∠A+∠B=90°， ∴∠B=60°. 在Rt△BCD中，∵∠B+∠BCD=90°， ∴∠BCD=90°－∠B=30°. 故BD= BC. 又BC= AB， 则BD= AB，即AB=4BD. BY YUSHEN BY YUSHEN 典例精析 例3 如图，线段AE与BC相交于点D，BD=CD， AD=ED， CA⊥AE，∠1=30°， 且AB=3 cm.那么线段BE多长呢? 解： BY YUSHEN BY YUSHEN 典例精析 例4 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AB=2，CD是斜边上的中线，CE是高，F是CD的中点. （1）求CD的长； （2）证明:△EDF为等边三角